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1、学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2【解析】B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底.【答案】B2.(2016合肥高一检测)如图229，向量ab等于()图229A.4e12e2B.2e14e2C.e13e2D.3e1e2【解析】不妨令a，b，则ab，由平行四边形法则可知e13e2.【答
2、案】C3.(2016大连高一检测)如图2210，已知E，F 分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF 与AC交于点G，若a，b，用a、b表示()图2210A.ab B.abC.ab D.ab【解析】易知，.设，则由平行四边形法则可得()22，由于E，G，F 三点共线，则221，即，从而，从而(ab).【答案】D4.若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A. B. C. D.【解析】4rs，()rs，r，s，3rs.【答案】C5.如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是()A.若实数1，2，使1e12e20，则120B.空间任一向量a可以表示为a1
3、e12e2，其中1，2RC.对实数1，2，1e12e2不一定在平面内D.对平面中的任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对【解析】选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面内任一向量都可表示为1e12e2的形式，故1e12e2一定在平面内；选项D错误，这样的1，2是唯一的，而不是有无数对.【答案】A二、填空题6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.【解析】由题意可以设ab1(b3a)31a1b，因为a与b不共线，所以有解得【答案】7.设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表
4、示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_.【解析】因为ae12e2 ，be1e2 ，显然a与b不共线，得ab3e2，所以e2代入得e1e2bbab，故有e1e2ababab.【答案】ab三、解答题8.如图2211，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，求的值.图2211【导学号：72010056】【解】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则，在RtOCD中，因为|2，COD30，OCD90，所以|4，|2，故4，2，即4，2，所以6.9.(2016马鞍山二中期末)如图2212所示，在ABCD中，E，F 分别是BC
5、，DC的中点，BF 与DE交于点G，设a，b.图2212(1)用a，b表示；(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线.【解】(1)abbab.(2)证明：连接AC，BD交于O，则，E，F 分别是BC，DC的中点，G是CBD的重心，又C为公共点，A，G，C三点共线.能力提升1.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向.又0，)，的方向与的方向相同.而，点P在上移动，点P的轨迹一定通过ABC的内心.【答案】B2.如图2
6、213所示，OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且xy.图2213(1)求x的取值范围；(2)当x时，求y的取值范围.【解】(1)因为xy，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(，0).(2)如图所示，当x时，在OA的反向延长线取点C，使OCOA，过C作CEOB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，则CDOB，CEOB，要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，当点P在点D处时，当点P在点E处时，所以y的取值范围是.
