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1、1,第三章 扭 转,2,一、概述,汽车传动轴,3-1、扭转的概念和实例,3,汽车方向盘,3-1、扭转的概念和实例,4,丝锥攻丝,3-1、扭转的概念和实例,5,扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。,3-1、扭转的概念和实例,扭转角（两端面相对转过的角度）,剪切角，剪切角也称切应变。,6,直接计算,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,1.外力偶矩,二、外力偶矩 扭矩和扭矩图,7,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知 轴转速n 转/分钟 输出功率P 千瓦 求：力偶矩Me,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,其中：P
2、 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）,8,2.扭矩和扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T 表示之。,9,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-),10,扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,11,解:,(1)计算外力偶矩,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,例题4-1,12,(2)计算扭矩,(3) 扭矩图,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,13,3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图,14,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外
3、力偶 Me,33 薄壁圆筒的扭转,15,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,33 薄壁圆筒的扭转,16,无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,33 薄壁圆筒的扭转,17,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,33 薄壁圆筒的扭转,18,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。 该定
4、理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,33 薄壁圆筒的扭转,19,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,33 薄壁圆筒的扭转,20,T=m,剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。,33 薄壁圆筒的扭转,21,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个
5、常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,33 薄壁圆筒的扭转,22,等直圆杆横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。,一、等直圆杆扭转实验观察：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,23,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,24,二、等直圆杆扭转横截面上的切应力,R,dx,d
6、x,B,C,C,c,b,d, 变形的几何条件,横截面上b 点的切应变：,其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角,B,25, 物理条件,横截面上b 点的切应力：, 静力条件,O2,dA,dA,b,T,其中 称为截面对圆心的极惯性矩。,26,于是得横截面上任一点的切应力为,Ip截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；, 求应力那点到圆心的距离；,27,d,D,环形截面：,极惯性矩的单位：m4,D,d,O, 极惯性矩,28,同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的半径，
7、且与扭矩的转向一致。,T,T,max,max,实心圆截面切应力分布图,空心圆截面切应力分布图,最大切应力在外圆处。,29, 最大切应力,令：,Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3,实心圆截面,空心圆截面,30,例4 已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。,d,D,T,max,min,解：,31, 确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,32,三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截
8、面上的应力。,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,33,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,34,(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,35,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。
9、,36,四、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,37,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩,实心轴,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,例题3-2,38,已知：P7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 =
10、 0.5。二轴长度相同。,求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。,空心轴,d20.5D2=23 mm,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,39,确定实心轴与空心轴的重量之比,空心轴,D246 mm,d223 mm,实心轴,d1=45 mm,长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,40,已知：P114kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大切应力。,P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
11、,n1=n2= 120r/min,解：1、计算各轴的功率与转速,M1=T1=1114 N.m,M2=T2=557 N.m,M3=T3=185.7 N.m,2、计算各轴的扭矩,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,例题3-3,41,3、计算各轴的横截面上的 最大切应力,3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算,42,相对扭转角,抗扭刚度,四、圆轴扭转时的变形计算,3-5、圆轴扭转时的变形计算,43,1. 等截面圆轴：,2. 阶梯形圆轴：,3-6 圆轴的设计计算,五、圆轴扭转时的强 刚度设计,44,单位长度扭转角,扭转刚度条件,许用单位扭转角,3-6 圆轴的设计计算,45,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知
12、T 、D 和，校核强度,已知T 和， 设计截面,已知D 和，确定许可载荷,已知T 、D 和/，校核刚度,已知T 和/，设计截面,已知D 和/，确定许可载荷,3-6 圆轴的设计计算,46,例题,47,例题,48,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,49,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,50,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,51,3-7、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果,52,3-7 矩形截面杆自由扭转理论的主要结果,相当极惯性矩。,截面最大切应力：,单位扭转角：,其中：,抗扭截面模量。,系数 、 随长短边的比值m=h/b 而变化，可查表获得。 狭长矩形截面：,53,开口/闭口薄壁杆件扭转比较,3-7 矩形截面杆自由扭转理论的主要结果,54,小结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,55,第四章作业,42、4、7、15、25,
