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1、空间向量及其运算,1. 空间向量的有关概念,（1）向量：空间中，具有大小和方向的量.,（2）表示法：,几何表示有向线段,代数表示,（3）向量相等：,同向且等长的有向线段表示同一向量,（4）向量的平移：,空间任意两个向量都可用同一平面的两条有向线段表示,2. 空间向量的运算,（1）向量的加法：,向量的平行四边形法则或三角形法则 在空间仍然成立；,首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零.,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运
2、 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,C,A,B,D,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,O,A,B,C,空间向量的数乘,空间向量的加减法,K=0?,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它
3、们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量及其加减与数乘运算,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法结合律,成立吗？,加法结合律：,O,A,B,C,O,A,B,C,（2）向量的减法：,向量减法可看成是向量加法的运算,（3）数乘向量：,设R，则
4、,（4）向量加法满足交换律、结合律和数乘的分配律.,3. 平行六面体：,平行四边形ABCD平移向量到ABCD的轨迹所形成的几何体；每面边称棱.,例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图),例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的
5、值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,A,B,M,C,G,D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,平面向量,概念,加法 减法 数乘 运算,运 算 律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或 平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,小结,类比
6、思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,O,A,B,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。,思考：它们确定的平面是否唯一？,思考：空间任意两个向量是否可能异面？,4. 共线向量和共面向量,（1）共线向量：,如果表示向量的有向线段所在直线是平行或重合的，则称这些向量是共线向量或平行向量，记作：,（2）共线向量定理：,（3）共线向量定理推论：,O,（4）共面向量定义：,把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.空间中任两个向量是共面的，但空间任三个向量不一定共面.,（5）共面向量定理,（6）共面向量定理的推论,平面向量基本定理,如果 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,存在唯一一对实数1,2,使,叫做向量 关于基底 的分解式.,我们把不共线的向量 叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.记作：,5.空间向量分解定理,（2）空间中的任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；,（3）零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面隐含着它们都不是零向量；,（4）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念.,空间向量分解定理推论,
