《结构力学2复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《结构力学2复习（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Ch9 矩阵位移法,矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。 一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法； 矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，,指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量， 这是平面结构杆件单元的一般情况。,符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的,座标与杆轴重合；,1,2,E A I,l,(a),图(b)表示的杆端位移均为正方向。,单元编号 杆端编号 局部座标,1,2,(b
2、),杆端位移编号,1,2,杆端力编号,(c),二、单元刚度矩阵(局部座标系),1、一般单元：,将上面六个方程合并，写成矩阵形式：,EA l,6EI l2,6EI l2,EA l,12EI l3,12EI l3,4EI l,2EI l,上面的式子可以用矩阵符号记为,这就是局部座标系中的单元刚度方程。,可求单元杆端力,0,0,0,0,0,0,6EI l2,0,6EI l2,0,-EA l,-6EI l2,-6EI l2,EA l,-12EI l3,12EI l3,2EI l,4EI l,0,0,0,0,0,0,-6EI l2,0,6EI l2,0,只与杆件本身性质有关而与外荷载无关,通过这个式子由
3、单元杆端位移,局部座标系的单元刚度矩阵,包含三种特殊单元： 1、桁架单元； 2、梁单元； 3、连续梁单元。,2、单元刚度矩阵的性质,（1）单元刚度系数的意义,代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。,例如,代表单元杆端第2个位移分量 时所引起的第5个杆端力分量 的数值。,（2）单元刚度矩阵 是对称矩阵，,（3）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；,因此它的逆矩阵不存在,从力学上的理解是，根据单元刚度方程,由,有一组力的解答(唯一的)，即正问题。,由,如果,不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。,三 单元刚度矩阵(整体座标系),座标转换矩阵,单元杆
4、端力的转换式、单刚的转换式,1、单元座标转换矩阵,正交矩阵,T-1 =TT,或 TTT=TT T =I,于是可以有,同理可以有,在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：,在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：,2、整体座标系中的单元刚度矩阵,（a）式可转换为：,两边前乘TT,比较式(b)和(d)可得：,四 等效结点荷载,F= K (1),结构体系刚度方程：,1、位移法基本方程,K +FP =0 .(2),F +FP =0 (3),将(1)式代入(2)式：,表示结点位移和结点力F之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。,基
5、本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。,基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。,2、 等效结点荷载的概念,结点结束力FP,结点结束力FP,等效结点荷载P,原荷载,显然 P=FP解决了计算等效结点荷载的问题,等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力,K = F,FP,+,=,3、 综合结点荷载,1 直接作用于结点的荷载，为结点外力或支座反力。,2 对于非结点荷载作等效变换后得到等效结点荷载。,计算步骤如下：,A 根据单元所受到的非结点荷载情况，计算单元局部坐标系下的单元等效结点荷载 。式中 为单元固端约束力。,B 利用单元坐标转换矩阵T，求整体坐标系下的单元等效结点荷载,C
6、利用单元定位向量依次将单元结点荷载集成到整体结构的等效结点荷载向量P,4、 各杆的杆端力,单元杆端力的计算公式为,而将 代入上式，得,K,求单元常数,T,P,原始数据、局部码、总码,解方程K=P 求出结点位移 ,开始,结束,五 计算步骤和算例,ch10 结构的动力计算,一、动力计算的特点、自由度和方法,“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。,确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。,动力计算方法：动力平衡法（达朗伯尔原理）,二、单自由度体系的
7、自由振动,运动微分方程,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。 st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视、 k、 st 三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期计算公式：,圆频率计算公式：,一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚
8、度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,位移响应：,三、单自由度体系的强迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。,强迫振动运动微分方程,简谐振动的通解可写为：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系
9、数为：,重要的特性： 当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。 当01，并且随/的增大而增大。 当/ 1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1.25称为共振区。,当/ 1时,的绝对值随/ 的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点注意： 随增大曲线渐趋平缓， 特别是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。,当接近 时， 增加很快， 对的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼
10、对的影响较小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t ) 可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsin t 滞后一个相位角 ，,但因很小，可近似地认为：,当时,0体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主要由S平衡，S与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载处理。,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、R相对说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；,弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为：,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况
11、。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,四、多自由度体系的自由振动,1、刚度法,两自由度体系自由振动微分方程,设解为,1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；,2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。,当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令,特征方程 频率方程,最小圆频率称为第一(基本)圆频率：,第二圆频率,（1）主振型,（2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应；,由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度体系实际
12、上是像一个单自由度体系在振动。,实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。,（3）一般振动,两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动,多自由度体系自由振动的振型分解,2、 柔度法,当然解 Y1=Y2=0， 为了求得不全为零的解，令,令,主振型,五 多个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动,在平稳阶段，各质点也作简谐振动：,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,如果荷载频率与任一个自振频率 1、 2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象,Ch16 结构的极限荷载,一、极限弯矩、塑性铰、破坏机构,1、极限弯矩（Mu): 整个截面达到塑性流动状态
13、时，对应的弯矩。,截面达到极限弯矩时的特点 极限状态时，无论截面形状如何，中性轴两侧的拉压面积相等。依据这一特点可确定极限弯矩。,极限弯矩与外力无关,只与材料的物理性质和截面几何形状、尺寸有关。,2、塑性铰,意味着该截面两侧可以发生相对转角，形如一个铰链。称为塑性铰。,注意塑性铰的特点（与机械铰的区别）,3、破坏机构 由于足够多的塑性铰的出现，使原结构成为机构（几何可变体系），失去继续承载的能力，该几何可变体系称为“机构”。,二、比例加载时判定极限荷载的定理,1、极限状态下的结构应满足的条件,平衡条件,2)屈服条件（内力局限条件）,3)单向机构条件,在极限状态下，结构的整体、或任一局 部都满足
14、静力平衡条件。,在极限状态下，结构的任一截面上的 弯矩值都不能超过截面的极限弯矩。,在极限状态下，结构中有足够多的截面的弯矩值达到其极限弯矩，形成塑性铰，使结构成为机构，并可按荷载增加的方向作单向机构运动（刚体位移）。,2、判断极限荷载的三个定理,A.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。,B.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。,C. 单值定理（唯一性定理）：极限荷载是唯一的。,3、计算极限荷载的基本方法,A.极限平衡法（又称静力法或极限平衡法）,B.破坏机构法（又称机动法或虚位移法）,C. 试算法,列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。,每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏 荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可 破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构 继续运算。,
