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1、实变函数 Real Variable Function,第章 介绍,Riemann积分理论的缺陷,1. 可积函数对连续性的要求 2. 积分与极限顺序的交换限制 3. 微积分基本定理的条件过强 4. 可积函数类空间的完备性问题,.可积函数对连续性的要求,2. 积分与极限顺序的交换限制,3. 微积分基本定理的条件过强,4.可积函数空间的完备性问题,设可积函数列fn(x)具有“极限”函数，则其极限仍属于该可积函数空间吗？,新思路：Lebsgue积分,不从分割自变量的定义区域入手，而是从分 割函数值域着手 目的：对函数的振幅加以人为控制,总结：采取在y轴之分割来限制函数值变动的振幅，然后，按函数值大小
2、对x进行归类，通过对被归类的x集合的大小加总。,新问题：Lebsgue积分,如何度量 Ei ？ 它是否能达到，与函数性质有关吗？ 如何确定可积函数类？,集合的描述,集合：以某种方式给定的一些事物的全体.,集合的描述,1. 列举法: 列出给定集的全部元素. 例如 A=a, b, c, B=1, 3, 5,2n-1,. 2. 描述法:当集A 是由具有某种性质P 的元素的全体所构成时, 用下面方式表示A: A=x:x具有性质,集的相等与包含,A=B: A 和B 具有完全相同的元素. A B : A 的元素都是B 的元素, 或称A 是B 的子集，或B A 若A B并且A B, 则称A 为B 的真子集.
3、 空集 是任何集的子集. A = B当且仅当A B并且B A.,集的运算,并运算与交运算：,集的运算,差运算：A B = x : x A并且x B. 余运算：全空间X 与子集A 的差集X A为A 的余集记为AC,De Morgan 公式,设At tT 是一族集. 则,集列的极限,1. 上极限: 2. 下极限: p11,集列的极限,集列的极限:单调集列,集合的特征函数,映 射,一一对应,逆映射、复合映射,逆映射：设f 是X 到Y 的一一的到上的映射. 定义一个Y 到X 的映射g 如下: 对每个y Y, 令g( y) = x, 其中x 是X 中的唯一存在的满足f (x) = y 的元. 称这样定义
4、的映射g 为f 的逆映射, 记为f 1. 复合映射：设f : X Y ，g :Y Z. 则h(x) = g( f (x)为f 与g 的复合映射.,集合的对等（等价）,设A, B 是两个非空集. 若存在一个从A 到B 的一一的到上的映射, 则称A 与B是对等的, 记为A B. 规定： . 例子：p16 有限集与无限集: 若存在一个自然数n, 使得A 与集1,2,n对等, 则称A 为有限集. 规定空集是有限集. 若A 不是有限集, 则称A 为无限集.,基数,对于所有相互对等的集, 我们给它们同一个记号, 称之为这其中每一个集的基数. 伯恩斯坦定理：p18,可数集,与自然数集N 对等的集称为可数集.
5、 例如: 整数集Z , 奇自然数集, 偶自然数集. 等价定义: 集A 是可数集当且仅当A 的所有元素可以编号排序成为一个无穷序列 (编号排序必须既无遗漏, 也无重复)：,可数集,定理1 任何无限集必包含一个可数子集 定理 可数集的任何无限子集还是可数集. 定理设为可数集，为有限或可数集，则为可数集。 定理：p21,可数集,定理 p23 定理 代数数的全体成一可数集 例 p24,不可数集,不是可数集合的无限集合称为不可数集 实数集是不可数集，具有连续基数c (a,b), a,b)等 实数列全体，n空间，c+c+=c*a=c,不可数集,定理：没有最大的基数 2a = c a,度量空间,距离: d(
6、x,y) 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） (2) d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 距离空间: 称(X,d)为度量空间 点P0的邻域：,点P与集合E的关系1,P为E的内点: 如果存在P的邻域U(P)，使U(P)包含于E. P为E的界点: P既不是E的内点，又不是E的外点. P为E的外点: 如果存在P的邻域U(P)，使U(P)包含于Ec，即P是Ec的内点.,点P与集合E的关系2,P为E的聚点: 如果P的任一邻域U(P)都含有无穷多个属于E的点. P为E的孤立点: 如果P属于E，但不是E的聚点，即存在P的某邻域U(P),使 P为E的外点:,聚点的等价定义,1
7、和2的关系,E的内点必为E的聚点，但E的聚点不一定是E的内点，还有可能是E的界点. E的内点一定属于E，但E的聚点不一定. E的界点不是聚点就是孤立点.,点的集合分类,E的全体内点所成的集合，称为E的开核. E的全体界点所成的集合，称为E的边界. E的全体聚点所成的集合，称为E的导集. E与其导集的并集，称为E的闭包。,Weierstrass定理,定理4：设E是一个有界的无限集合，则E至少有一个聚点。,开集,开集：如果E的每一点都是E的内点，则称E为开集。 例子：整个空间Rn, 空集，单位开球 E为开集当且仅当E包含于E的内核，即两者相等。,闭集,闭集：如果E的每一聚点都属于E，则称E为闭集。
8、 例子：整个空间Rn, 空集，单位闭球，任一有限集合 E为闭集当且仅当E包含于E，即E的界点包含于E 。,开集和闭集,定理1：E的内核是开集，E的导集和闭包都是闭集。 定理2(开集与闭集的对偶性)：E为开集当且仅当其余集Ec是闭集。,开集和闭集,定理3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。 定理4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限多个闭集之和仍是闭集。 一个应用：(例1 P41),覆盖定理,定理5：设F是一个有界闭集，则F的任一开覆盖都存在有限子覆盖。 定义：设M是度量空间X中的一集合，如果M的任一开覆盖都存在有限子覆盖，则称M为X中的紧集。,覆盖定理,定理6：Rn中的紧集一定是
9、有界闭集。 一个应用，例2 (P43) ： 设A是实数集R的一个非空子集，则A的任一开覆盖都存在可数(或有限)子覆盖。,自密集与完备集,自密集：若E中的每一点都是其聚点，则称E为自密集. (或没有孤立点的集)。例子：空集，有理数集 完备集：若E=E，则称E为完备集 (即没有孤立点的闭集，或自密的闭集)。例子：空集，R，a,b,R中开集构造定理,构成区间的定义：设G是R的一个开集，如果开区间(a,b)是G的一个子集，且a,b不属于G，则称(a,b)是G的构成区间。 开集构造定理：直线上任一非空开集可以表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并集。又当非空开集可以表示成互不相交的开区间的并集时，这
10、些区间必是构成区间。,闭集构造定理,余区间的定义：设A是R的一个闭集，称A的余集的构成区间为A的余区间。 闭集构造定理：直线上非空闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间(即F的余区间)所得到的集。,完备集F的刻划,F为闭集，即Fc是至多可数个两两不相交的开区间(即Fc构成区间)的并； F没有孤立点：Fc任意两个构成区间都没有公共端点。 F为完备集当且仅当Fc是至多可数个两两不相交的且无公共端点的开区间的并。,Cantor集的构造,第一步，将0,1闭区间三等分，取走中间的开区间； 第二步，将剩下的2个闭区间再三等分，再分别取走中间的开区间； 第三步，将剩下的4个闭区
11、间再分别三等分，也分别取走中间的开区间， ，依次无限进行下去，最终从0,1中取走了可数个互不相交且无公共端点的开区间，故剩下的必是一个闭集，记为P。,Cantor集的性质,P是完备集：因为它的余集是可数个互不相交且无公共端点的开区间的并. P的长度为零: 因为它的余集的长度 P没有内点 P是疏朗集：R中任一非空开集必有非空开子集与P不相交. P的基数为c 所以，Cantor集是基数为c的疏朗完备集，且长度为零。,Rn中开集构造定理,开集构造定理： Rn中任一非空开集总可以表示成有限个或可数个互不相交的半开半闭区间的并集，但表法不唯一。,例 题,例1 设f(x)是Rn上的实值连续函数，则对任何实
12、数a, 集合x: f(x)a和x:f(x)a都是开集.,例 题,例2 设F是Rn的一个紧集，f(x)是沿F连续的函数，则 (1) f在F上有界，并能达到最大和最小值；(2) f在F上一致连续。,例 题,例3 设E是Rn的一个子集，则E为疏朗集的充分必要条件是E的闭包没有内点。,第三章 测度论,经验公理,测度公理,外测度的定义,外测度的例子,外测度的性质,L测度的定义,L测度的性质,测度的性质,测度的性质,测度的性质,测度的性质,测度的性质,测度的性质,可测集合类,可测集合类,例 子,例 子,例 子,L测度的平移不变性,L测度的平移不变性,不可测集合的例子,第四章 可测函数,可测函数的定义,可测
13、函数的定义,可测函数的例子,可测函数的例子,可测函数的例子,可测函数的例子,可测函数的性质,可测函数的性质,可测函数的性质,可测函数的性质,可测函数的正部、负部,可测函数的正部、负部函数是可测函数,可测函数的性质,可测函数的性质,连续函数的定义,连续函数,可测函数的性质,简单函数的定义,简单函数,可测函数与简单函数,几乎处处成立,几乎处处成立,几乎处处成立,连续函数列的一致极限,可测函数列的收敛与一致收敛,可测函数由连续函数逼近,可测函数由连续函数逼近,可测函数由连续函数逼近,可测函数由连续函数逼近,依测度收敛,依测度收敛,例子,例子,第五章 积分论,函数的Riemann可积条件,函数的Rie
14、mann可积条件,Riemann积分局限性,非负简单函数的Lebesgue积分,非负简单函数的Lebesgue积分,非负简单函数的Lebesgue积分,非负简单函数的Lebesgue积分,两个准备定理,两个准备定理,非负可测函数的Lebesgue积分,非负可测函数的Lebesgue积分,非负可测函数的Lebesgue积分,非负可测函数的Lebesgue积分,非负可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,一般可测函数的Lebesgue积分,R积分和L积分的比较,R积分和L积分的比较,R积分和L积分的比较,R积分和L积分的比较,重积分，累次积分，Fubini定理,重积分，累次积分，Fubini定理,Tonelli定理,Tonelli定理,Fubini定理,Fubini定理,重积分，累次积分，Fubini定理,重积分，累次积分，Fubini定理,重积分，累次积分，Fubini定理,
