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1、山东省实验中学2013届高二期终考试理科数学试卷一选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内,复数对应的点位于 （ D ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知，则“”是“”的（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.直线与圆的位置关系是 （ C ） A.相离 B.相切 C.相交 D.与k的取值有关4.函数的图象如图，则的解析式可以为 （ D ）A. B. C. D. 5.正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表
2、面积为 （ B ） A. B. C. D. 6设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 7已知函数的定义域为a,b ,值域为0,1，那么满足条件的有序对共有（ ）A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 9对8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，
3、5，7，9，10，12，14，16，17，则在这个红色子数列中，由1开始的第2009个数是 （ ）A. 3948 B. 3953 C. 3955 D.39589.已知：奇函数的定义域为R，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则的值等于（ ） A 0 B 1 C D 210. 如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，那么实数的取值范围为 （ ） A. B. 或 C. D. 若二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若椭圆的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为_12.双曲线 1的左右焦点分别为F1 F2，在双曲线上存在点P，满足PF15PF2。则此双曲线的离心率
4、e的最大值为 . 13.已知，为原点，点的坐标满足，则的最大值是 14.某种股票今天的股价是2元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100天以后这种基金的股价约是_元/股（精确到0.01）.15.设函数的定义域分别为DJ,DE且DJ DE ，若对于任意DJ,都有则称函数为在DE上的一个延拓函数.设为在上的一个延拓函数，且是奇函数，则=_；设,为在R上的一个延拓函数，且且是偶函数，则=_.三(解答题本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（1）若上午某一时
5、段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是： 6分（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，8分所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）= 。 11分 ,即平均使用台数
6、为台。 12分17(本小题满分12分)已知角、满足：5sin5cos8，且(0，)，(，)，求cos()的值.解：5sin5cos8，sin()3分(0，)，(，)，cos()5分又，8分(，)，(，)，cos()，10分 sin()()sin()cos()cos()sin()，cos()12分18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C面AA1C1C.1）求证：D点为棱BB1的中点；A1C1B1ACBA1D2）若二面角A A1D C的平面角为600，求的值。解：1）过点D作DE A1 C 于E点
7、，取AC的中点F，连BF EF。面DA1 C面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE A1 C直线DE面AA1C1C 3分又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF ，从而有EFAA1，A1C1B1ACBA1DHEFG又点F是AC的中点，所以DB EF AA1 BB1，所以D点为棱BB1的中点； 6分2）解法1：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB面AA1B1B，过B作BHA1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 GCH，由此知CHB为二面角A A1D C
8、的平面角； 9分设AA1 2b ，ABBC ；在直角三角形A1A G中，易知 AB BG。在直角三角形DB G中，BH ，在直角三角形CHB中，tanCHB ，据题意有： tan600 ，解得：，所以 。 12分2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1 2b ，ABBC ，A1C1B1ACBA1DyOxZ则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， 8分设面DA1C的法向量为则 可取又可取平面AA1DB的法向量cos 10分 据题意有：，解得： 12分19（本小题满分13分）已知 求函数在区间上的最小值； 对一切实数，恒成立，求实数a的取值范围； 证明对一切
9、， 恒成立 解： ，当，单调递减，当，单调递增1分 ，t无解；2分 ，即时，；3分 ，即时，在上单调递增，；所以5分 ，则，设，则，单调递增，单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以；9分 问题等价于证明，由可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立13分20（本小题满分13分）设正项数列的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n, m，当n m时，总成立。1）求证数列是等比数列；2）若正整数n, m, k成等差数列，求证： 。解： 1）因为对任意正整数n, m，当n m时，总成立。所以当2时：，即，且也适合，又0，故当2时：（非零常数），即是等比
10、数列。 5分2）若，则。所以。 7分若，则，。 8分所以。 10分又因为。所以。综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 总成立。当且仅当时取“”。 13分21（本小题满分13分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（R）使等式：cossin成立。解： 1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： 2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为： 3分由，有： 设，弦AB的中点，由及韦达定理有： 所以，即为所求。 5分2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。 7分又点在椭圆C上，所以有整理为。 由有：。所以 又AB在椭圆上，故有 将，代入可得：。 11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（R）使等式：cossin成立。
