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1、2014年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用13精品训练 理（含解析）新人教B版命题报告教师用书独具考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难最值问题1、65、7、1012实际应用问题38不等式恒成立问题24、911一、选择题1f(x)2x43x21在上的最大值、最小值分别是()A21，B1，C21,0 D0，解析：函数f(x)在上有最大值和最小值f(x)8x36x0，解得x0或x或x(舍去)，f(x)maxf(2)21，f(x)minf.答案：A2(2013年淄博模拟)已知aln x对任意x恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3解析：设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时
2、，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.答案：A3做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A. B.C. D.解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则VR2h.设造价为y2R2a2Rhb2aR22Rb2aR2，y4aR.令y0，得.答案：C4函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：f(x)(x3)ex，f(x)ex(x2)0，x2.f(x)的单调递增区间为(2，)答案：D5
3、(2013年珠海摸底)若函数f(x)在2,2上的最大值为2，则a的取值范围是()A. B.C(，0 D.解析：当x0时，f(x)6x26x，易知函数f(x)在(，0上的极大值点是x1，且f(1)2，故只要在(0,2上，eax2即可，即axln 2在(0,2上恒成立，即a在(0,2上恒成立，故aln 2.答案：D二、填空题6函数f(x)x2ln x的最小值为_解析：由得x1，由得0x0，l2.令l0，解得x.易知，当x时，其周长最小答案：9已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，f(x)在R上是增函数又f(x)f(x)，yf(x)为奇函数由f(mx2)f(x)0得
4、f(mx2)f(x)f(x)，mx2x，即mx2x0在m2,2上恒成立记g(m)xm2x，则即解得2x0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；解析：(1)由题意f(x)的定义域为(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增的(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增加的，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减少的，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，当1xa时
5、，f(x)0，f(x)在(1，a)上是减少的；当ax0，f(x)在(a，e)上是增加的f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.11设函数f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立(注：e为自然对数的底数)解析：(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要解得ae.12(能力提升)已知函数f(x)ln ax2x(a0)(1)若f(x)是单
6、调函数，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)f(x2)32ln 2.解析：(1)由f(x)lnax2xln xax2x得，f(x)2ax1.令g(x)2ax2x1，(1) 242a118a.当a时，0，g(x)0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减当0a0，方程2ax2x10有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x10，f(x)0；当x(x1，x2)时，g(x)0.此时f(x)不是单调函数综上，a的取值范围是.(2)由(1)知，当且仅当a时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1x2，x1x2.f(x1)f(x2)ln x1axx1ln x2axx
7、2(ln x1ln x2)(x11)(x21)(x1x2)ln x1x2(x1x2)1ln 2a1.令g(a)ln 2a1，a，则当a时，g(a)g32ln 2，即f(x1)f(x2)32ln 2.因材施教学生备选练习1(2013年北京东城模拟)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax3，其中a为实数(1)求函数f(x)在t，t2上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围解析：(1)由题知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递增当0tt2时，无解；当0tt2，即0t时，函数f(x)在t，t2上的最小
8、值f(x)minf；当t0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，故h(x)在(1，)上单调递增所以h(x)在(0，)上有唯一极小值h(1)，即为最小值，所以h(x)minh(1)4，因为对一切x(0，)，ah(x)恒成立，所以a4.2(2013年沈阳模拟)已知f(x)xln x.(1)求g(x)(kR)的单调区间；(2)证明：当x1时，2xef(x)恒成立解析：(1)g(x)ln x，令g(x)0得xk.x0，当k0时，g(x)0.函数g(x)的增区间为(0，)，无减区间；当k0时g(x)0得xk；g(x)0得0xk，增区间为(k，)，减区间为(0，k)(2)证明：设h(x)xln x2xe(x1)，令h(x)ln x10得xe，列表分析函数h(x)的单调性如下：x1(1，e)e(e，)h(x)10h(x)e20h(x)0.即f(x)2xe.
