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1、(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨 配方法求最值 新人教A版12讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,38讲,对数学思想方法进行了探讨,912讲对数学解题方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。最值问题是中学数学的重要内容,它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体,可以考查中学数学的许多知识点,考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法,还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。纵观近年高考,从题型分布来看,大多数一道填空题或选择题,一道解答题;从分值来看,约占总分的10%左右,它在高考中占有比较重要的地位。分析考题的
2、类型,高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种:1函数(含三角函数)的最值;2学科内的其它最值,如几何中的最值问题、数列的最大项等等;3字母(函数)的取值范围;4不等式恒成立问题、存在性问题,常常转化为求函数的最值,例如: 对恒成立的最小值0成立,对恒成立的最大值0成立,等等;5实际应用问题,如最优化问题,可以通过建模可化为最值问题,等等。结合中学数学的知识,高考中最值问题的求解方式一般有以下几种:1应用配方法求最值;2应用不等式(含基本不等式)求最值;3应用导数求最值;4应用单调性等性质求最值;5应用函数的值域求最值;6应用三角函数求最值;7应用几何、向量知识求最值; 8应用线性规划求最值。我
3、们从以上八方面探讨最值问题的求解。一、应用配方法求最值:典型例题:例1.若正数x,y满足x+3y=5xy,则的最小值是【 】A. B. C.5 D.6【答案】C。【考点】基本不等式或配方法的应用。【解析】x+3y=5xy,。 。(或由基本不等式得) 5,即的最小值是5。故选C。例2.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:失事船的移动路径可视为抛物线;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为7. (1)当时,写出失事船所
4、在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)【答案】解:(1)时,P的横坐标,代入抛物线方程得P的纵坐标。 A(0,12), 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanOAP=,得,救援船速度的方向为北偏东弧度。 (2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为。 由,整理得。 当即=1时最小,即。 救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】(1)求出A点和P点坐标即可求出。 (2)求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3.如图,椭圆M:的离心率为,直线和 所围成的矩
5、形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程;() 设直线与椭圆M有两个不同的交点P,Q,与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解:()椭圆M:的离心率为,即。 矩形ABCD面积为8,即由解得:。椭圆M的标准方程是。(II)由得。设,则。由得。当过A点时,当过C点时,。当时,有,。设,则。当,即时,取得最大值。当时,由对称性,可知,当时,取得最大值。 当时,当时,取得最大值。综上可知,当时,取得最大值。【考点】椭圆的性质,矩形的性质,函数的极值。【解析】()由已知条件,根据椭圆M的离心率为 ,直线和 所围成的矩形ABCD的面积为8,列方程组组求解。 ()
6、应用韦达定理、勾股定理,用表示出,分,三种情况分别求解。例4.如图,动圆,与椭圆:相交于A,B,C,D四点,点分别为的左,右顶点。 ()当为何值时,矩形的面积取得最大值?并求出其最大面积; () 求直线与直线交点M的轨迹方程。【答案】解:(I)设,则矩形的面积。 由得, 。 当时,最大为,。 , 当时,矩形的面积取得最大值,最大面积为6。()设,直线A1A的方程为,直线A2B的方程为。由可得:。在椭圆上,。代入可得:,点M的轨迹方程为。【考点】直线、圆、椭圆的方程,椭圆的几何性质,轨迹方程的求法。【解析】(I)设,应用函数方程思想求出最大时的情况即可。()设出线A1A的方程、直线A2B的方程,求得交点满足的方程,利用A在椭圆上,化简即可得到点M的轨迹方程。