《(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的综合问题1 新人教a版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的综合问题1 新人教a版(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、九、函数的综合问题:典型例题:例1.设函数。(1)讨论的单调性;(2)设,求的取值范围。【答案】解:。(1),。当时,在上为单调递增函数;当时,在上为单调递减函数;当时,由得, 由得或; 由得。 当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数。(2)由恒成立可得。令,则。当时,当时,。又,所以,即故当时,有,当时,所以。当时,。综上可知故所求的取值范围为。【考点】导数在研究函数中的运用,三角函数的有界性,。【解析】(1)利用三角函数的有界性,求解单调区间。 (2)运用构造函数的思想,证明不等式。关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。例2.已知函数(1)讨论的单调性
2、;(2)设有两个极值点,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值【答案】解:(1), 当 时,且仅当时。是增函数。 当 时,有两个根。列表如下:的增减性0增函数减函数0增函数 (2)由题设知,是的两个根,且。 。 同理,。 直线的解析式为。 设直线与轴的交点为,则,解得。 代入得 , 在轴上, 解得,或或。【考点】函数的单调性和极值,导数的应用。【解析】(1)求出导函数,分区间讨论即可。 (2)由,是的两个根和(1)的结论,得,求出关于的表达式和关于的表达式,从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入,由其等于0,求出的值。例3.已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最
3、大值。【答案】解:(1),。令得,。,得。 的解析式为。 设,则。 在上单调递增。 又时,单调递增;时,单调递减。 的单调区间为:单调递增区间为,单调递减区间为。 (2),。令得。 当时,在上单调递增。 但时,与矛盾。 当时,由得;由得。 当时, 。 令;则。 由得;由得。 当时, 当时,的最大值为。【考点】函数和导函数的性质。【解析】(1)由求出和即可得到的解析式,根据导数的性质求出单调区间。(2)由和,表示出,根据导函数的性质求解。例4.设函数()求的单调区间()若a=1,k为整数,且当x0时,求k的最大值【答案】解:() f(x)的的定义域为,。 若,则,在上单调递增。 若,则当时,;当
4、时,在上单调递减,在上单调递增。 ()a=1,。 当x0时,它等价于。 令,则。 由()知,函数在上单调递增。 ,在上存在唯一的零点。 在上存在唯一的零点,设此零点为,则。 当时,;当时,。 在上的最小值为。 又,即,。 因此,即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质,导数的应用。【解析】()分和讨论的单调区间即可。 ()由于当x0时,等价于,令,求出导数,根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例5.已知函数(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间(,1)上的最大值。【答案】解:(1)(1,c)为公共切点,。 ,即。
5、又,。 又曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 。 解,得。(2),设。 则。令,解得。 ,。 又在各区间的情况如下:00在单调递增,在单调递减,在上单调递增。若,即时,最大值为;若,即时,最大值为。若时,即时,最大值为。综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值,切线的斜率,导数的应用。【解析】(1)由曲线与曲线有公共点(1,c)可得;由曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线可得两切线的斜率相等,即。联立两式即可求出a、b的值。 (2)由 得到只含一个参数的方程,求导可得的单调区间;根据 ,和三种情况讨论的最大值。例6.已知函数(1)若曲线
6、与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)当a=3,b=9时,若函数在区间k,2上的最大值为28,求k的取值范围。【答案】解:(1)(1,c)为公共切点,。 ,即。 又,。 又曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 。 解,得。(2)a=3,b=9,设。 则。令,解得。 又在各区间的情况如下:100在单调递增,在单调递减,在上单调递增。其中,为最大值。如果函数在区间k,2上的最大值为28,则区间包含最大值点。,即k的取值范围为。【考点】函数的单调区间和最大值,切线的斜率,导数的应用。【解析】(1)由曲线与曲线有公共点(1,c)可得;由曲线与曲线在它们的交点(1,
7、c)处具有公共切线可得两切线的斜率相等,即。联立两式即可求出a、b的值。 (2)由 a=3,b=9得到的方程,求导可得的单调区间;根据函数在区间k,2上的最大值为28,则区间包含最大值点。从而得出k的取值范围。例7.已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由。【答案】解:()由已知得,交点A的坐标为,对求导得。 抛物线在点A处的切线方程为,即。()由(1)知,则成立的充要条件是。即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到。当时,。当n=0,1,2时,显然。当时,对
8、所有自然数都成立。满足条件的的最小值是。()由(1)知,则,。下面证明:。首先证明:当0x1时,设函数,则。当时,;当时,在区间(0,1)上的最小值min=g。当0x1时,0,即得。由0a1知0ak1(),。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】()根据抛物线与x轴正半轴相交于点A,可得A,进一步可求抛物线在点A处的切线方程,从而可得()由()知,则 成立的充要条件是,即知,对所有n成立。当时,;当n=0,1,2时,由此可得的最小值。()由()知,证明当0x1时, 即可证明: 。例8.已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。()用和表示
9、;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由。【答案】解:()由已知得,交点A的坐标为,对求导得。 抛物线在点A处的切线方程为,即。()由(1)知,则成立的充要条件是。即知,对于所有的n成立,特别地,取n=1时,得到。当时,。当n=0时,。当时,对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是3。()由(1)知,下面证明:。首先证明:当0x1时, ,设函数,则。当时,;当时,在区间(0,1)上的最小值min=g。当0x1时,0,即得。由0a1知0ak1(),。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】()根据抛物线与x轴正半轴相交于点A,可得A,进一步可求抛物线在点A处的
10、切线方程,从而可得()由()知,则成立的充要条件是,即知,对所有n成立。当时,;当n=0时,由此可得的最小值。()由()知,证明当0x1时,即可证明:。例9.已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.【答案】解:()函数的定义域为,求导函数可得. 令,得。当变化时,和的变化情况如下表:0极小值在处取得极小值。由题意,得。()当0时,取,有,故0不合题意。当0时,令,即。求导函数可得。令,得。当时, 0,在(0,+)上恒成立,因此在(0,+)上单调递减,从而对任意的),总有,即对任意的,有成立。符合题意。当时,0,对于(0, ),0,因此在(0, )
11、上单调递增,因此取(0, )时,即有不成立。 不合题意。综上,实数的最小值为。()证明:当=1时,不等式左边=2ln32=右边,所以不等式成立。当2时,。在(2)中,取,得,。综上,。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】()确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,求得函数的最小值,利用函数的最小值为,即可求得的值。()当0时,取,有,故0不合题意。当0时,令,求导函数,令导函数等于0,分类讨论:当 时,0,在(0,+)上单调递减,从而对任意的),总有。当时,0,对于(0, ),0,因此在(0, )上单调递增。由此可确定的最小值。()当=1时,不等式左边=2ln32=右边,所以不等式成立。当2时,由,在()中,取得,从而可得,由此可证结论。例10.已知函数,其中.(I)求函数的单调区间;(II)若函数在区间(2,0)内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当=1时,设函数在区间上的最大值为M(),最小值为m(),记,求函数在区间上的最小值。【答案】解:(I)求导函数可得。 令,可得