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1、四、关于线线、线面及面面垂直的问题：典型例题：例1.已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，【 】 A存在某个位置，使得直线与直线垂直 B存在某个位置，使得直线与直线垂直 C存在某个位置，使得直线与直线垂直 D对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直【答案】B。【考点】空间中直线与直线之间的位置关系。【解析】 如图，依题意，=，。 A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则，平面，从而，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，平面平面。取中点，连接，则，就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，
2、故B正确；C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除C；D，由上所述，可排除D。故选 B。例2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点()证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。【答案】解：()证明：由题设，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，BCCC1，BCAC，CC1AC=C，BC平面ACC1A1。 又DC1平面ACC1A1，DC1BC。 由题设，AC=BC，=AA1，D是棱AA1的中点，A1DC1=
3、ADC=450，CDC=900，即DC1DC。又DCBC=C，DC1平面BDC。又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC。（）设棱锥BDACC1的体积为V1，则。 又三棱柱ABCA1B1C1的体积， 。 平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为1：1。【考点】直三棱柱的性质，平面和平面的位置关系，棱柱和棱锥的体积。【解析】()要证明平面BDC1平面BDC，只要证一个平面的一条直线垂直于另一个平面即可。由由题设可证得DC1BC，DC1DC，由DCBC=C得DC1平面BDC，而DC1平面BDC1，因此平面BDC1平面BDC。 （）求出三棱柱ABCA1B1C1的体积和棱锥BDACC1的体积即可求得
4、结果。例3.如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.（1）求证：A1C平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由【答案】解：（1）CDDE，A1EDE，DE平面A1CD。又A1C平面A1CD ，A1CDE。又A1CCD，A1C平面BCDE。（2）如图建立空间直角坐标系，则B（0，3，0），C（0，0，0），D（2，0，0），E（2。2。0），A1（0，0，）。设平面A1
5、BE法向量为，则，即，。又M是A1D的中点，M（1，0，）。设CM与平面A1BE法向量所成角为，则。CM与平面A1BE所成角为。（3）设线段BC上点P，设P点坐标为，则。则设平面A1DP法向量为则 。假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，即，解得。与不符。线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。【考点】线面垂直的判定，线面角的计算，两平面垂直的条件。【解析】（1）根据线面垂直的判定进行判定。 （2）建立空间直角坐标系可易解决。 （3）用反证法，假设平面A1DP与平面A1BE垂直，得出与已知相矛盾的结论即可。例4.如图1，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，
6、点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2。（1） 求证：DE平面A1CB；（2） 求证：A1FBE；（3） 线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由。【答案】解：（1）证明：在图1 RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点， DEBC。 在图2中，DE平面A1CB，DE平面A1CB。 （2）证明：DEA1D，DECD，A1DCD=D，DE平面A1CD。A1F平面A1CB，DEA1F。 又A1FCD，CDDE=D，CD平面BEDC，DE平面BEDC，A1F平面BEDC。 又BE平面BEDC，A1FBE， （3）线段A1B上存在点Q
7、，使A1C平面DEQ，点Q为A1B的中点。理由如下： 取A1C中点P，连接DP，QP。 PDCB，DECB ，PDDE。 DEQP是平行四边形，D、E、Q、P四点共面。 由（2）知，DE平面A1CD，又A1C平面A1CD，DEA1C。 P，Q是A1B和A1C的中点，PQCBDE。PQ A1C。又AD=CD，A1P=CP，PDA1C 。又PQPD=P， A1C平面PQD，即A1C平面DEQ。【考点】线面平行，线线垂直，线面垂直的判定，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质。【解析】（1）由线面平行的判定理直接证出。 （2）要证两异面直线垂直，就要证一条直线垂直于另一条直线所在的平面。因此考虑
8、证明A1F平面BEDC即可。 （3）在线段A1B上找出使A1C平面DEQ的点Q，进行证明。例5. 如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点。（）证明： ；（）如果=2,=, , 求 的长。【答案】解；（I）连接。，共面。长方体中，底面是正方形，。面。（）连接。在矩形中，。 。，解得。【考点】两直线的位置，相似三角形的判定和性质。【解析】（I）要证，只要面即可。一方面，由正方形的性质有，另一方面由长方体的性质有，且和是相交的，从而面。 （）由，根据角的转换可知，从而根据相似三角形的性质可由对应边比求出 的长。例6.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB平面PAD，ABCD，PD=A
9、D，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB，PH为PAD中AD边上的高（1）证明：PH平面ABCD；（2）若PH=1，AD=，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；（3）证明：EF平面PAB 【答案】解：（1）证明：平面，平面，。为中边上的高，。 ，平面。（2）连接，取中点，连接。是的中点，。 平面 ，平面。 。（3）证明：取中点，连接，。 是的中点，。，。四边形是平行四边形。，。平面，平面， 。 ， 平面。平面。【考点】空间线线、线面的平行和垂直，三棱锥的体积。【解析】（1）证明垂直于平面内的两条相交直线和即可。 （2）连接，取中点，连接，则由三角形中位线定理和（1）平面，可得三棱锥E-B
10、CF底面上的高，从而三棱锥E-BCF的体积可求。 （3）取中点，连接，。一方面由三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，即；另一方面，由垂直于平面的两条相交直线和可证明平面，从而可得平面。例7.如图，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4.现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.（1）求证：平面DEG平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积。【答案】解：（1）证明：在平面图中，ABCD，DEEF，CFEF，四边形CDEF为矩形。DEAB，AD=5，DE=4，BC=4，A
11、E=3，BF=4。AB=12，EF=5。将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG，GE=AE=3，GF=BF=4。在EFG中，有，EGGF。又CFEF，CFFG，EFFG=F，CF平面EFG。又EG平面EFG，CFEG。EG平面CFG，即平面DEG平面CFG。（2）在平面EGF中，过点G作GHEF于H，则。平面CDEF平面EFG，GH平面CDEF，.。【考点】平面与平面垂直的判定，棱锥的体积。【解析】（1）判断四边形CDEF为矩形，然后证明EGGF，推出CFEG，然后证明平面DEG平面CFG。（2）在平面EGF中，过点G作GHEF于H，求出GH，说明G
12、H平面CDEF，利用求出体积。例8.如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB=。AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点。（1）证明：（i）EFA1D1；（ii）BA1平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值。【答案】（1）证明：（i），平面ADD1 A1，平面ADD1 A1.。又平面平面ADD1 A1=，。又，。（ii），。又，。又，。由（i），E是DD1的中点，F是AA1的中点，即。又，平面。(2) 设与交点为H，连结。由（1）知，是与平面所成的角。如图，在矩形中，由勾股定理
13、得，。又，由RtRt，得，即。又由，得。在Rt中，。所以BC与平面所成角的正弦值是。【考点】四棱锥中线线平行，线面垂直和线面角证明和的计算，平面几何知识。【解析】（1）（i）根据一直线平行于两相交平面，则这条直线平行于两平面的交线即可得。 （ii）证明BA1垂直于平面B1C1EF中的两条相交直线和即可。（2）设与交点为H，连结，则是与平面所成的角，应用平面几何勾股定理、相似三角形的知识即可求出，根据锐角三角函数定义即可求得，即BC与平面所成角的正弦值。例9.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.（）证明：直线B1D1平面ACC2A2；（）现需要对该零
