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1、八、数列与三角函数的综合应用：数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化。典型例题：例1.设函数，是公差为的等差数列，则【 】A、 B、 C、 D、【答案】D。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】，。是公差为的等差数列，。，解得。故选D。关于， 可化为。由，设，作图可得二者交点在处：例2.设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（）求数列；（）设的前项和为，求。【答案】解：（I），。 令，解得。 当时，； 当时，。 当时，取极小值。 数列：。 （II）由（I）得：， 。 当时，； 当时，； 当时，。 当时，； 当时，； 当时，。【考点】三角函数的极值，
2、导数的应用，数列。【解析】（I）求函数的所有正的极小值点，即要讨论，和的情况，得出结果。 （II）求出的前项和为，分类讨论，求出。例3. 中，内角、成等差数列，其对边、满足，求A【答案】解：中，内角、成等差数列，。，。又，根据正弦定理，得。由“”进行均值换元，设 ，。则，化简，得。或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。【解析】根据角、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。例4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，已知.()求证：成等比数列；()若，求ABC的面积S.【
3、答案】解：()由已知得：，即。 ， 。 由正弦定理，得，成等比数列。()若，则， 由余弦定理，得， 。 ABC的面积。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。【解析】()根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。 ()由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。例5.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。 ()求的值； ()边a，b，c成等比数列，求的值。【答案】解：（）角A，B，C成等差数列，。又，=60。（）边a，b，c成等比数列，。根据正弦定理得。 =60，
4、。【考点】数列与三角函数的综合，正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。【解析】（）在中，由角A、B、C成等差数列可知B =60，从而可得的值。（）由a，b，c成等比数列，得，由的值得到的值，结合正弦定理可求得的值。 另解：由余弦定理求得得到是等边三角形，每个内角等于600求解。例6.设，在中，正数的个数是【 】A25 B50 C75 D100【答案】 D。【考点】正弦函数的周期性。【解析】对于（只有)，都为正数。 当时，令，则，画出终边如右， 其终边两两关于轴对称，即有， 其中=26,27,49，此时。， ，。从而当=26,27,49时，都是正数。又。同上可得，对于从51到100的情况同上可知都是正数，故选D。例7. （）已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为 【答案】。【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。【解析】ABC的三边长成公比为的等比数列，设三角形的三边分别是：a、a、a。 最大角所对的边是a， 根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。 最大角的余弦值为。
