第一章 行列式一.单项选择题1.的根的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4解: B.对行列式进行列变换: 观察可见: 以上为的二次多项式,故选B.2. A. B. C. D. 解: D.将行列式依第一行展开: 二.填空题1. 解: -3.应用化三角形法: 2． 解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法: 3.设行列式则第四行各元素余子式之和的值为 .解: -28.设第四行各元素对应余子式分别为则它们对应的代数余子式之和为4． 解: 按第一行展开,得递推关系式,并依次展开即得.5． 解: 把各列累加到第一列再用化三角形法:6． 解: 应用降阶法:按第一列展开,原式=7. 解: 应用行列式定义直接展开.8.在函数中,的系数为 解: -2.行列式展开式中只有对角线展开项为项.9.在n阶行列式=||中,若时, =0(=1,2,…,n),则= 解: 其实为下三角形行列式.10. 解: .对应的逆序个数为 ,所以 .三.计算1. 设=解.根据行列式展开定理有2. 计算解.应用行列式展开定理,按第一行展开,降阶得 3. 计算解.(1)先利用数学归纳法,找出递推关系式.按第一列展开得即有递推关系式 因为(假设),假设 ,则有 据数学归纳法得 若,直接计算得 4.解.利用拆行列式法,,所以 (1)同样,由对称性得 (2)当时,上两式联立解方程组得 若,由(1)递推得 第二章 矩阵一. 单项选择题1.设和均为矩阵,则必有( ) A. B. C. D.解: C.2.设,,,均为可逆矩阵,则 为( ) A. B. C. D. 解: C.逆向验证.3.设为n阶非奇异方阵(n>1),为的伴随矩阵,则为( ) A. B. C. D. 解: C.由 得 所以.4.若均为四维列向量, 则( )A. B. C. D.解: C..5.设为4阶方阵,且=2,将按列分块为,其中(=1,2,3,4)为的第列,则 解 : 2.原式=6.设为n阶可逆矩阵,则( ) A. B. C. D. 解: A.7.设 ,则必有( ) A. B. C. D. 解: C.将矩阵的第一行加到第三行,第一行和第二行互换既得矩阵.初等行变换相当于左乘同种类型初等矩阵.所以选.8.设其中可逆,则( ).A. B. C. D. 解: C.将矩阵的第一列和第四列互换,第二列和第三列互换既得矩阵.初等列变换相当于右乘同种类型初等矩阵.所以从而 .9.设n阶方阵满足,则必有( ) A. ; B. ; C. ; D. .解: D.由得 所以选D.10.设为矩阵,为矩阵,则( )A. 当时,必有B. 当时,必有C. 当时,必有D. 当时,必有解: B.为阶方阵,且所以当时,必有从而11.设为同阶可逆矩阵,则( )A.B. 存在可逆矩阵,使得C. 存在可逆矩阵,使得D. 存在可逆矩阵和,使得解: D. 任意两个同阶可逆矩阵经一系列初等行或列变换可化为同阶单位矩阵,初等行(列)变换相当于左(右)乘一系列初等矩阵.所以,存在可逆矩阵使得,变形既得 ,记 ,得答案(D).12.设为矩阵,是n阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则( )A. B. C. D. 的关系视而定.解: C.可逆矩阵一定可以表示为一系列初等矩阵的乘积.矩阵右乘可逆矩阵,相当于右乘一系列初等矩阵,这又相当于对矩阵施行一系列初等列变换.对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩.所以, 13.设则=( )A.0 B. C. D.解: C. 14.设矩阵A=则=( ) A.1 B.1/(1-n) C.-1 D.1/(n-1)解: B.将矩阵各行加于第一行得当=1/(1-n)时,第一行为0,右下方的n-1阶子式非零,所以选B.二.填空题1.设为4阶方阵,若=4,则= , 若=3,则= , 若<3,则= .解: 4,1,0.一般地,若A为n阶方阵,则 .2.设矩阵且则k= .解: 由得: ||=0,即所以,又因为时, 从而,3.设 .解: 2.4.设,则= .解: 1.此矩阵各行成比例,所以， =1.5.设四阶方阵的秩为2,则其伴随矩阵的秩为 解: 0.所以,的全部三阶子式均为0.从而=0, 6.设为三阶方阵,||=2,则|2|= , ||= ,||= ,||= .解: 若A为n阶方阵,则所以,7.设则 = 解: 由得 .8.n阶方阵满足,则= 解: .由得即所以 .9.设为n阶方阵,||=2,||=-3,则 解: 10.设4阶方阵=,=,是四维列向量,若||=4,||=1,则||= 解: 40.=4011.设分别为阶方阵, ||,||,=,则||= 解: 依次交换矩阵的第一列与第n+1列, 第二列与第n+2列,…,可将化为,共计进行了次交换,所以, 12.设为正整数,则 解: 0.13.设为正整数,则 解: 计算得 设n=k时, 则n=k+1时,,所以, .14.设则= .解: 15. 已知其中则= .解: 由得 计算得 16.设为3阶方阵,, .解: 由 得 所以17.设方阵满足,,其中为的伴随矩阵,则= .解: 由得 即 ,所以 从而 .其中因此 18.设,其中则= .解: 由得 .19.设,则= .解: 利用分块矩阵逆矩阵结果可得 20.设 .解: 21.设则= .解: 将分块为22.设 .解: .将分块,三.计算题1.设为n阶方阵,,,求.解. ,所以, .2.设为n阶(n>1)非零方阵,元素与其代数余子式相等,求||.解.考虑应用 , 因为,所以,,上式两侧同时取行列式得即 又因为所以，当时,由1得 ||=1;当时,||可以为任意实数.3.设为10阶方阵,计算行列式其中为10阶单位阵,为常数.解: 将行列式按第一列展开:4.设.解:方法一:用数学归纳法.一般地,设则由数学归纳法得 方法二:A为初等矩阵,,这相当于对单位矩阵作了n次把第一列加到第三列的初等列变换,所以 .5.设为n阶可逆矩阵,将的第行和第行对换后的矩阵为,(1) 证明可逆; (2)求解: (1)所以可逆.(2) 记为将的第行和第行对换后的初等矩阵,则,所以, 6.设,其中.解:由题意得 ,构造矩阵= ,初等行变换得->,所以7.设矩阵满足.解: 其中利用分块矩阵逆矩阵求解得8.设求.解: 由得 ,其中 ,所以 9.设.解. 在两侧同乘以得 由得 , 即所以, 其中 ,所以, 10.设三阶矩阵的逆矩阵为试求伴随矩阵的逆矩阵.解: 由得 .其中应用矩阵的初等行变换计算得 ,所以, .11.设n阶方阵满足,(1)证明可逆;(2)若.解.分析:若要证明可逆,直接思路为构造出包含乘积项的基本等式.(1) 由已知条件得 ,两侧同减去得 ,即,从而,亦即可逆,且. (2)方法一:由得,直接求解逆矩阵可得.方法二:由(1)中结果得 ,所以.应用矩阵的初等行变换可得 ,所以 .12.设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,为常数.记其中是矩阵的伴随矩阵,为n阶单位矩阵.(1) 计算并化简;(2) 证明: 矩阵可逆的充分必要条件为解: (1)应用得 .(2)由(1)知: .又由已知条件可知: 所以, .从而 ,即可逆的充分必要条件为 四.证明1.设,和均可逆,证明.证明:方法一:直接验证法.= 得证.方法二:在所证等式两侧同时取逆,即证 .显然,右侧= ,得证.2.设均为n阶方阵,||≠0,可逆, ,证明可逆.证明:欲证可逆,只需证明||≠0,由 得: ,即,所以, .以下应能从中分离出,并可以进一步取行列式.对上式进一步变形得 ,两侧取行列式得, 从而 ||≠0,即可逆.3.若,则可逆,并求.证明:先从构造出一个包含的等式,由已知得==,即 ,两侧同时加上得 变形即得 所以, .4.设为n阶方阵,且,(1) 证明可逆,并求;(2) 若||=2,求||.证明(1)由变形得 ,即从而 故.(2) 由变形得 ,从而 ||=||==.5.已知n阶方阵满足=, 求.解:由=得,将其改写为,即 ,所以, .6.设是n阶非零矩阵,当时,证明.证明: 由知 其中为元素对应的代数余子式.因为是n阶非零矩阵,所以不妨设由行列式的展开定理得得证.7. 已知n阶方阵满足为正整数).证明可逆,求证明: 由得 所以, 可逆,且第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题1.向量组线性无关的充分必要条件为( )A. 均不为零向量;B. 中任意两个向量的分量不成比例;C. 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示;D. 中有一部分向量线性无关.解: C.2.均为n维向量,则。