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1、必备一主干知识回扣技法一函数性质1.函数的单调性(1)定义:一般地,设函数f(x)的定义域为A,如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间I上是增(减)函数.(2)证明方法:定义法、导数法.2.函数的奇偶性(1)定义:对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数;如果对于定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.(2)图象特征:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的
2、图象关于y轴对称.3.函数零点(1)对于函数y=f(x),xD,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x(xD)称为函数y=f(x)的零点,实质上函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,它是实数而不是点.函数y=f(x)-g(x)的零点可以看成是方程f(x)-g(x)=0的根或函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点的横坐标.(2)零点存在性定理:一般地,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0且a1);(ex)=ex;(logax)=1xlna(a0且a1);(lnx)=1x;(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx.3.导数
3、的运算法则:f(x)g(x)=f(x)g(x);f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);f(x)g(x)=f (x)g(x)-f(x)g(x)g(x)2(g(x)0).4.导数与函数的单调性:f(x)0函数f(x)在相应区间上为单调增函数;f(x)0函数f(x)在相应区间上为单调减函数.5.导数与函数的极值、最值:(1)函数的极值:设函数f(x)在点x0附近有定义,且对x0附近的所有点都有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大(或小)值,其中x0称为极值点,f(x0)称为极值,所以极值点是实数而不是点.(2)函数在闭区间上的最值在极值点处或区间端点处取得.技法
4、三基本初等函数1.指数的概念及运算性质:(1)(na)n=a(nN*);当n为奇数时,nan=a;当n为偶数时,nan=|a|;(2)正数的分数指数幂的意义:amn=nam;a-mn=1amn=1nam(a0,m、nN*,且n1).2.对数的概念及运算性质:(1)ab=NlogaN=b(a0且a1);(2)对数的运算法则:loga(MN)=logaM+logaN;logaMN=logaM-logaN;logaMn=nlogaM(a0且a1);(3)换底公式:logaN=logbNlogba(a0且a1,b0且b1).3.指数函数的定义:一般地,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数;对数函数
5、的定义:一般地,函数y=logax(a0,且a1)叫做对数函数;幂函数的定义:一般地,形如y=xa的函数叫做幂函数.4.指数函数、对数函数的图象和性质:指数函数对数函数0a10a1图象共同性质定义域:R;值域:(0,+);图象过定点(0,1)定义域:(0,+);值域:R;图象过定点(1,0)不同性质在(-,+)上是单调增函数在(-,+)上是单调减函数在(0,+)上是减函数在(0,+)上是增函数技法四三角函数1.任意角的三角函数的定义:sin=yr,cos=xr,tan=yx.2.同角三角函数的关系式(同角公式):平方关系:sin2+cos2=1,商数关系:tan=sincos.3.诱导公式:k
6、2(kZ)与的三角函数值之间的等量关系式,记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限.4.三角函数的图象和性质:三角函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRxxR,x2+k,kZ值域-1,1-1,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k,0),kZk+2,0,kZk2,0,kZ对称轴x=k+2,kZx=k,kZ没有对称轴周期性22单调增区间2k-2,2k+2,kZ2k-,2k,kZk-2,k+2,kZ单调减区间2k+2,2k+32,kZ2k,2k+,kZ无特别关注:(1)三角函数与其他函数构成的复合函数的单调性,要注意函数的定义域.(2)三角函数的值域与最值的常见题型:一是可以利用三角公式
7、化为标准型y=Asin(x+)(A0,0);二是转化为基本函数型,如:y=cos2x-sinx+1,y=sin2x+sinx+cosx均可以通过换元转化为二次函数;三是利用导数法.(3)三角函数的周期:y=Asin(x+)和y=Acos(x+)(A0,0)都可以利用周期公式T=2求解;y=Atan(x+)(A0,0)利用周期公式T=求解.y=|Asin(x+)|(A0,0)、y=|Acos(x+)|(A0,0)和y=|Atan(x+)|(A0,0)的周期都是T=;y=|Asin(x+)+b|(A0,0,b0)的周期公式是T=2.(4)奇偶性:y=Asin(x+)(A0,0)是奇函数=k,kZ,
8、是偶函数=k+2,kZ.y=Asin(x+)(A0,0)是奇函数=k+2,kZ,是偶函数=k,kZ.(5)对称性:求对称轴、对称中心;已知对称轴或对称中心,求参数的取值(用特值法).5.三角恒等变换:(1)两角和与差的三角函数:sin()=sincoscossin;cos()=coscossinsin;tan()=tantan1tantan.(2)二倍角公式:sin2=2sincos;cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;tan2=2tan1-tan2.(3)降幂公式:sin2=1-cos22;cos2=1+cos22.6.解三角形:(1)正弦定理:asinA=bsin
9、B=csinC=2R;SABC=12absinC=12bcsinA=12casinB.(2)余弦定理:cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.技法五平面向量1.平面向量共线定理:(1)向量b与非零向量a共线存在唯一的实数,使得b=a.(2)平面向量共线定理的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.2.平面向量基本定理:若e1、e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只
10、有一对实数1,2,使得a=1e1+2e2,其中e1、e2称为基底.3.两个向量的数量积:(1)向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则AOB叫做向量a与b的夹角.注意:夹角的范围是0,;作图时两向量一定要共起点.(2)已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则ab=|a|b|cos.注意:数量积运算的结果是数量,而线性运算的结果仍然是向量.技法六数列1.等差数列与等比数列:等差数列等比数列定义an+1-an=d(nN*,d为常数)an+1an=q(nN*,q为常数)通项公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m,nN*,且nm)an=a1qn-1=amqn-m(m,
11、nN*,且nm)前n项和公式Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2dSn=na1,q=1a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,q1常用性质若m+n=p+q,m,n,p,qN*,则am+an=ap+aqaman=apaqSk,S2k-Sk,S3k-S2k,(kN*)是公差为k2d的等差数列是公比为qk的等比数列(Sk0)证明an成等差(比)数列的方法定义法和等差中项法定义法和等比中项法2.已知数列的递推公式,求通项公式的常用方法:累加法、累乘法、构造新数列法、取倒数法.3.常见复杂数列求和的基本数学思想:转化与化归思想,即把复杂数列求和问题等价转化为基本数列求和.常用方法:(1)
12、并项求和法(正负相间的项的求和);(2)裂项相消法;(3)错位相减法;(4)分组求和法.求和时先分析通项,再选择求和方法.技法七不等式1.不等式的重要性质:若a0,则1a1b,即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变;如果不等式两边同时乘(或除以)一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.基本不等式:(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即若a,b0,则a+b2ab(当且仅当a=b时,取等号).基本变形:a+b2ab;a+b22ab;若a,bR,则a2+b22ab,a2+b22a+b22.(2)基本应用:求函数最值注意:一正二定三相等;积定和最
13、小,和定积最大.已知a,b为正数.当ab=p(常数)时,a+b2p,当且仅当a=b=p时,a+b取得最小值2p;当a+b=s(常数)时,abs24,当且仅当a=b=s2时,ab取得最大值s24.技法八直线与圆1.几个距离公式:(1)两点间距离公式:设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2;(2)点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式:d=|Ax0+By0+C|A2+B2;(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离公式:d=|C1-C2|A2+B2.2.(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),把一般方程配方得x+D22+y+E22=D2+E2-4F4(D2+E2-4F0).(2)判断直线与圆的位置关系的方法:利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小,若dr,则相离;若d=r,则相切;若dr1+r2;C1与C2相外切d=r1+r2;C1与C2相交|r1-r2|
