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1、9.4直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系dr相离(2)代数法：知识拓展圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20). 方法位置关系几何法
2、：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解知识拓展常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则
3、两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(5)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(6)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()1圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是_答案相交但直线不过圆心解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B
4、(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时AB最小为2.方法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知AB22 ，下同方法一方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而PC2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过
5、圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知AB22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.思维升华(1)与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解(2)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系(1)若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)_在圆上 在圆外在圆内 以上都有可能(2)(2014江苏)在平面直角
6、坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_答案(1)(2)解析(1)由1，所以点P在圆外(2)圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22 .题型二圆的切线问题例2(1)过点P(2,4)引圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为_；(2)已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程与直线l1：xy40平行；与直线l2：x2y40垂直；过切点A(4，1)思维点拨用待定系数法，先设出切线方程，再求系数(1)答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直
7、线的斜率存在时，设直线方程为y4k(x2)，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d1，解得k，所求切线方程为xy420，即4x3y40.(2)解设切线方程为xyb0，则，b12，切线方程为xy120；设切线方程为2xym0，则，m5，切线方程为2xy50；kAC，过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.思维升华求圆的切线方程的常用方法：(1)设出切线方程，由几何性质确定参数值(2)过圆外一点(x0，y0)求切线，既可采用几何法也可采用代数法几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，由圆心到直线的
8、距离等于半径求解代数方法：当斜率存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出(2013江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y12
9、0.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.题型三圆与圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_(2)两圆x2y26x6y480与x2y24x8y440公切线的条数是_(3)已知O的
10、方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，若由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_答案(1)x2y40(2)2(3)x解析(1)两圆的方程相减得：x2y40.(2)两圆圆心距d0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，且MN，求a的最大值和最小值(1)答案内切解析圆C1：x2y22y0的圆心为C1(0,1)，半径r11，圆C2：x2y22x60的圆心为C2(，0)，半径r23，C1C22，又r1r24，r2r12，C1C2r2r12，圆C1与C2内切(2)解M(x，y)|y，a0，即(x，y)|x2y22a2，y0，表示以原点O为圆心，半径等于a的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a0，表示以O(1，)为圆心，半径等于a的一个圆再由MN，可得半圆和圆有交点，故半圆和圆相交或相切当半圆和圆相外切时，由OO2aa，求得a22；当半圆和圆相内切时，由OO2aa，求得a2
