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1、7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约
2、束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 【思考辨析】判断下面
3、结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)不等式x2y20所表示的平面区域内，则m的取值范围是_答案m1解析由2m350，得m1.4(2014湖南)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.答案2解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z2xy，则y2xz.易知当直线y2xz过点A(k，k)时，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则k的值是_(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等
4、式组表示为_答案(1)(2)解析(1)不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.(2)两直线方程分别为x2y20与xy10.由(0,0)点在直线x2y20右下方可知x2y20，又(0,0)点在直线xy10左下方可知xy10，即为所表示的可行域思维升华二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点(1)在平面直角坐
5、标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为_(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_答案(1)7(2)xy10解析(1)直线axy10过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a1)，C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a1，则其面积等于(a1)14，解得a7.(2)边界对应直线方程为xy10，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足xy10.题型二求线性目标函数的最值例2(1)(2014广东改编)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn_.(2)(2013课标全国)已知
6、a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)6(2)解析(1)画出可行域，如图阴影部分所示由z2xy，得y2xz.由得A(1，1)由得B(2，1)当直线y2xz经过点A时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点B时，zmax2213m，故mn6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华线性规划问题的解题步骤：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(
7、即最优解)，代入目标函数，即可求出最值(1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为_(2)(2014北京改编)若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为_答案(1)4(2)解析(1)由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入zxy得z的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kxy20与x轴的交点为A(，0)zyx的最小值为4，4，解得k.题型三线性规划的实际应用例3某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、
8、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1 600x2 400y.由题意，得x，y满足约束条件作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点P时，直线z1 600x2
9、400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小思维升华解线性规划应用问题的一般步骤：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是_万元答案27解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z5x3y.
10、由题意得可行域如图阴影所示由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x3，y4，z533427(万元)题型四求非线性目标函数的最值例4(1)设实数x，y满足则的最大值为_(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|的最小值是_答案(1)(2)解析(1)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，)处取到最大值(2)依题意得，(x1，y)，|可视为点(x，y)与点(1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线xy2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(1,0)的距离
11、最小，因此|的最小值是.思维升华常见代数式的几何意义有(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(4)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率跟踪训练4(1)设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域2是与1关于直线3x4y90对称的区域，对于1中的任意一点A与2中的任意一点B，AB的最小值为_(2)设变量x，y满足若直线kxy20经过该可行域，则k的最大值为_答案(1)4(2)1解析(1)由题意知，所求的AB的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的
12、平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小，故AB的最小值为24.(2)画出可行域如图，k为直线ykx2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k最大，此直线需过B(2,4)点，所以k1.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值典例：(14分)变量x、y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围思维点拨点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，表示点(x，y)和原点连线的斜率；x2y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示点(x，y)和点(3,2)的距离的平方规范解答解(1)由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)4分z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率
