《2016高考数学大一轮复习 9.6双曲线教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 9.6双曲线教师用书 理 苏教版（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.6双曲线1双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中a、c为常数且a0，c0.(1)当2aF1F2时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0) 1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B
2、1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，
3、则该双曲线的离心率为_答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2(2013福建改编)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离d_.答案解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线yx的距离d.3已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有相同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.4(2014北京)设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_答案x2y21解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c，a1，
4、则b2c2a21，所以双曲线C的方程为x2y21.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_思维点拨解(2)时，考虑定义法答案(1)1(2)x21(x1)解析(1)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点M(2，2)代入得k(2)22.所以双曲线方程为1.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为MAMB，所以MC1AC
5、1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 (0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值(1)(2014天津改编)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2
6、x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_答案(1)1(2)1解析(1)双曲线的渐近线方程为yx，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，所以2c100.所以c5.由得故双曲线方程为1.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013浙江改
7、编)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_(2)(2014广东改编)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的_相等思维点拨(1)依题意可求出a、c的值(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可答案(1)(2)焦距解析(1)F1F22.设双曲线的方程为1.AF2AF14，AF2AF12a，AF22a，AF12a.在RtF1AF2中，F1AF290，AFAFF1F，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.(2)因为0k0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_(2)过双曲线1(a0，
8、b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为_答案(1)yx(2)2解析(1)由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.(2)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.题型三直线与双曲线的位置关系例3已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x
9、22kx20.解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xAxB，yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.AB的中点P的坐标为(，)设直线l0的方
10、程为yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m2.m的取值范围为(，2)忽视“判别式”致误典例：(14分)已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误规范解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意3分设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.5分由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)8分x0.由题意，
