《2016高考数学大一轮复习 8.7立体几何中的向量方法（二）-求空间角和距离教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 8.7立体几何中的向量方法（二）-求空间角和距离教师用书 理 苏教版（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.7立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0，0，求法cos cos 2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，a与n的夹角为，则sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)4利用空间向量求距离(供选用)
2、(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB|.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离为|.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是(0，直线与平面所成角的范围是0，二面角的范围是0，()(5)直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120，则l和所成角为30.()(6)若二面角a的两个半平面
3、，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.()1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_答案90解析以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，M(，1,0)，D(0,1,0)，N(1,1，)，(，1，1)，(1,0，)cos，0，A1M与DN所成的角的大小是90.2在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d_.答案2解析P点到平面OAB的距离为d2.3如
4、图，ABACBD1，AB面，AC面，BDAB，BD与面成30的角，则C，D两点间的距离是_答案解析|1，又AC，BD与成30角，与成60角，2()222222211122，|.4P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_答案90解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.题型一求异面直线所成的角例1(2014课标全国改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1
5、，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_答案解析方法一由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且BCCACC1，可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解如图(2)，取BC的中点D，连结MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角设BC2，则BMND，AN，AD，因此cosAND.思维升华用向量法求异面直线所
6、成角的一般步骤是：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值 长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_答案解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.题型二求直线与平面所成的角例2(2014北京)如图，正方形AMDE的边长
7、为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长思维点拨解答(2)时，可以以A为原点，以，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系(1)证明在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)解因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0
8、)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)，(1,0,0)，(0,1,1)设平面ABF的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin |cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为，设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面ABF的一个法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0.解得，所以点H的坐标为(，)所以PH 2.思维升华利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在
9、平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角 (2013湖南)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1
10、所成的角(记为)如图，连结A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形于是A1DAD1，又因为A1B1A1DA1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，且ACAD1A，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连结AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从
11、而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是
12、平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.题型三求二面角例3(2013课标全国)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值思维点拨以C为原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(1)证明连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)解由A
13、CCBAB得，ACBC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m是平面A1CE的法向量，则可取m(2,1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.思维升华求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 (2014课标全国)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的
