《2016高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 8.5空间向量及其运算教师用书 理 苏教版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.5空间向量及其运算1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a0)，a与b共线的充要条件是存在实数，使得ba.推论如图所示，点P在l上的充要条件是ta，其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的
2、表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz 1 .(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)交换律：abba.分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及应用向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b
3、30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有0.()(6)|a|b|ab|是a、b共线的充要条件()1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则 (用a，b，c表示)答案abc解析()c(ba)abc.2在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 (填序
4、号)2；0；0.答案解析0，则、为共面向量，即M、A、B、C四点共面3与向量(3，4,5)共线的单位向量是 答案和解析因为与向量a共线的单位向量是，又因为向量(3，4,5)的模为5，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是(3，4，5)(3，4,5)4如图，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则 (用a，b，c表示)答案abc解析abc.题型一空间向量的线性运算例1三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.思维点拨利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可解()().思维升华用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导
5、是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点设E是棱DD1上的点，且，试用，表示.解().题型二共线定理、共面定理的应用例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()思维点拨对于(1)，只要证出向量即可；对于(2)，只要证出与共线即可；对于(3)，易知四边形E
6、FGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量可由向量和表示，再将与分别用向量，和向量，表示证明(1)连结BG，则()，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形所以EG，FH交于一点M且被M平分故()()思维升华(1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明(0)(2)证明点共面的方法证明点
7、共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明xy或对空间任一点O，有xy或xyzOC(xyz1)即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为 答案平行解析取a，b，c为基底，易得(abc)，而abc，即，故EFDB1，且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD，所以EF平面A1B1CD.题型三空间向量数量积的应用例3已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)求向量
8、a与向量b的夹角的余弦值；(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值解(1)a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.(2)方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直，(k1，k,2)(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或k，当kab与ka2b互相垂直时，实数k的值为2或.方法二由(1)知|a|，|b|，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，得k2或k.思维升华(1)利用向量的数量积可证明直线的垂直关系；也可以利用垂直关
9、系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2
10、q2r2p22(qrpqrp)a2a2a22()2a2.|a.MN的长为a.(3)解设向量与的夹角为.()(qr)，qp，(qr)(qp)(q2qprqrp)(a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)(a2).又|a，|cos aacos .cos .向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.“两向量同向”意义不清致误典例：已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为 易错分析将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：a、b方向相同或相反解析由题意知ab，所以，即把代入得x2x20，(x2)(x1)0，解得x2，或x
11、1当x2时，y6；当x1时，y3.当时，b(2，4，6)2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去当时，b(1,2,3)a，a与b同向，所以答案1,3温馨提醒(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足ab(b0)且0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.方法与技巧1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角
12、问题3利用向量解立体几何题目的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题失误与防范1向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立2求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.A组专项基础训练(时间：40分钟)1空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，则判断大小： (填“”、“解析取BD的中点F，连结EF，则EF綊CD，因为，90，因为0，.2如果三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a,3，b2)在同一条直线上，则a，b的值分别为 答案3,2解析(1，1,3)，(a1，2，b4)，因为三点共线，所以存在实数使，即a3，b2.3已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于 答案60解析如图，设a，b，c，则abc，所以cos，所以异面直线a，b所成的
