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1、13.5复数1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系3复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，
2、dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)原点是实轴与虚轴的交点()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()1(2014课标全国改编)_.答案1i解析方法一1i.方法二2(1i)i2(1i)1i.2在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为
3、线段AB的中点，则点C对应的复数是_答案24i解析A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.3(2013四川改编)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是_答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示.4(2013广东改编)若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是_答案5解析由题意知xyi43i，所以|xyi|43i|5.题型一复数的概念例1(1)已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为_(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”
4、的_条件思维点拨(1)若zabi(a，bR)，则b0时，zR；b0时，z是虚数；a0且b0时，z是纯虚数(2)直接根据复数相等的条件求解答案(1)1(2)充分不必要解析(1)由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.(2)由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件思维升华处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理(1)(2013安徽改编)设i是虚数单位若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为_(2)(2014浙江)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的_条件答案(1)3(2)充分不必要解析(1)aa
5、(3i)(a3)i，由aR，且a为纯虚数知a3.(2)当ab1时，(abi)2(1i)22i；当(abi)22i时，得解得ab1或ab1，所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件题型二复数的运算例2计算：(1)_；(2)()6_.思维点拨复数的除法运算，实质上是分母实数化的运算答案(1)33i(2)1i解析(1)3i(i1)33i.(2)原式6i61i.思维升华(1)复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式(2)几个常用结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度(1
6、i)22i；i；i.i(abi)bai.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.(1)(2014广东改编)已知复数z满足(34i)z25，则z_.(2)(2014北京)复数2_.答案(1)34i(2)1解析(1)方法一由(34i)z25，得z34i.方法二设zabi(a，bR)，则(34i)(abi)25，即3a4b(4a3b)i25，所以解得故z34i.(2)21.题型三复数的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：(1)、所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)B点对应的复数思维点拨结合
7、图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可(1)(2014重庆改编)在复平面内复数Zi(12i)对应的点位于第_象限答案一解析复数Zi(12i)2i，复数Z的实部20，虚部10，复数Z在复平面内对应的点位于第一象限(2)已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数
8、单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)解决复数问题的实数化思想典例：已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题规范解答解设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i4
9、6i，根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根除法实际上是分母实数化的过程2在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合3实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一
10、一对应关系，即4复数运算常用的性质：(1)(1i)22i；i，i；(2)设i，则|1；120；2.(3)inin1in2in30(nN*)失误与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解3两个虚数不能比较大小4利用复数相等abicdi列方程时，注意a，b，c，dR的前提条件5注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立.A组专项基础训练(
11、时间：30分钟)1若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为_答案1解析由复数z为纯虚数，得解得x1.2在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是_答案34i解析因为13i(2i)34i.3若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是_答案H解析由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.4(2013山东改编)复数z(i为虚数单位)，则|z|_.答案5解析z43i，所以|z|5.5(2014江西改编)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z_.答案1i解析方法一设zabi，a，b为实数，则abi.z2a2，a1.又(z
12、)i2bi22b2，b1.故z1i.方法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.6(2013天津)i是虚数单位，复数(3i)(12i)_.答案55i解析(3i)(12i)35i2i255i.7若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.答案3解析(3b)(3b)ii.解得ab3.8复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_答案m解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，m.9已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.10复数z1(10a2)i，z2
