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1、【决胜高考】2016高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十一）理 新人教A版(范围：8.58.7)一、选择题1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为()A. B.C.或 D不能确定答案C解析cosm，n，m，n.两平面所成二面角的大小为或.2(2014广东)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)答案B解析各选项给出的向量的模都是，|a|.对于选项A，设b(1,1,0)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项B，设b(1
2、，1,0)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b60，正确对于选项C，设b(0，1,1)，则cosa，b.因为0a，b180，所以a，b120.对于选项D，设b(1,0,1)，则cosa，b1.因为0a，b180，所以a，b180.故选B.3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A. B.C. D.答案C解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E为BC1的中点，D(0,0,0)，E(1,2,1)，(1,2,1)，设DE与平面BCC1B1
3、所成角的平面角为，平面BCC1B1的法向量n(0,1,0)，sin |cos，n|，cos ，tan .4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是()A. B.C. D.答案A解析过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，点D是AA1的中点，B(2，2,0)，C1(0,4,4)，D(0,0,2)，A1(0,0,4)，(2，2，2)，(0,4,2)，(0,0,2)，设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，n0，n0，n(，1,2)，点A1到平面DB
4、C1的距离d.故选A.5如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH的延长线经过点C1D直线AH和BB1所成角为45答案D解析A1BD为正三角形，其重心、外心、中心合一ABAA1AD，H到A1BD各顶点的距离相等，A正确；CD1BA1，CB1DA1，CD1CB1C，BA1DA1A1，平面CB1D1平面A1BD，AH平面CB1D1，B正确；连接AC1，则AC1B1D1，B1D1BD，AC1BD，同理AC1BA1，AC1平面A1BD，A、H、C1三点共线，C正确，故选D.二、填空题6若a、b
5、是直线，、是平面，a，b，向量m在a上，向量n在b上，m(0,3,4)，n(3,4,0)，则、所成二面角中较小的一个余弦值为_答案解析由题意，m(0,3,4)，n(3,4,0)，cosm，n，a，b，向量m在a上，向量n在b上，、所成二面角中较小的一个余弦值为.7(2013北京)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_答案解析取B1C1中点E1，连接E1E，D1E1，过P作PHD1E1，连接C1H.EE1平面A1B1C1D1，PHEE1，PH底面A1B1C1D1，P到C1C的距离为C1H.当点P在线段D1E上运动
6、时，最小值为C1到线段D1E1的距离在RtD1C1E1中，边D1E1上的高h.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_答案解析如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，(0,1，1)，(1,0，)设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，即所求的锐二面角的余弦值为.三、解答题9在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，
7、CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD.又AEBD，且AEADA，AE平面AED，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系不妨设CB1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)因此，(0，1,1)设平面BDF的一个法向量为m(
8、x，y，z)，则m0，m0，所以xyz，取z1，则m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则cosm，所以二面角FBDC的余弦值为.10如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边的中点，且CC12AB.(1)求证：AC1平面CDB1；(2)求点B到平面B1CD的距离；(3)求二面角ACDB1的正切值(1)证明连接BC1交B1C于点O，连接DO.则O是BC1的中点，DO是BAC1的中位线，所以DOAC1.因为DO平面CDB1，AC1平面CDB1，所以AC1平面CDB1.(2)解因为CC1平面ABC，所以BB1平面ABC，所以
9、BB1为三棱锥B1CBD的高，所以SBCDBB14.又可求CD，B1D，且易知CD平面ABB1A1，所以CDDB1.故h，即h，解得h.即点B到平面B1CD的距离为.(3)解以，过点D且垂直于平面ABC向上的向量分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则点D(0,0,0)，C(，0,0)，B1(0，1,4)，所以(，0,0)，(0，1,4)设平面CDB1的一个法向量为n1(x，y，z)，由得令z1，得n1(0,4,1)又易知平面ACD的一个法向量为n2(0,0,1)设二面角ACDB1的平面角为，观察图形，可得cos .所以sin .故tan 4.即二面角ACDB1的正切值为4.
