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1、第3讲 函数的奇偶性与周期性一、选择题1设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时,f(x)2x2xb(b为常数),则f(1)等于()A3 B1 C1 D3解析由f(0)f(0),即f(0)0.则b1,f(x)2x2x1,f(1)f(1)3.答案D2已知定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x2)f(x),则f(6)的值为 ()A1 B0 C1 D2解析(构造法)构造函数f(x)sin x,则有f(x2)sinsin xf(x),所以f(x)sin x是一个满足条件的函数,所以f(6)sin 30,故选B.答案B3定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2),当x3,5时,f(x)2|x4|,则下
2、列不等式一定成立的是 ()Aff Bf(sin 1)f(cos 1)Cff(sin 2)解析当x1,1时,x43,5,由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|,显然当x1,0时,f(x)为增函数;当x0,1时,f(x)为减函数,cos,sin ,又fff,所以ff.答案A4已知函数f(x)则该函数是 ()A偶函数,且单调递增 B偶函数,且单调递减C奇函数,且单调递增 D奇函数,且单调递减解析当x0时,f(x)2x1f(x);当x0时,f(x)12(x)12xf(x)当x0时,f(0)0,故f(x)为奇函数,且f(x)12x在0,)上为增函数,f(x)2x1在(,0)上为增函数,又x0
3、时12x0,x0时2x10时是单调函数,则满足f(2x)f的所有x之和为_解析 f(x)是偶函数,f(2x)f,f(|2x|)f,又f(x)在(0,)上为单调函数,|2x|,即2x或2x,整理得2x27x10或2x29x10,设方程2x27x10的两根为x1,x2,方程2x29x10的两根为x3,x4.则(x1x2)(x3x4)8.答案 8三、解答题11已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1),f(1)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性解(1)因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)yf(x)xf(y),所
4、以令xy1,得f(1)0,令xy1,得f(1)0.(2)令y1,有f(x)f(x)xf(1),代入f(1)0得f(x)f(x),所以f(x)是(,)上的奇函数12已知函数f(x)对任意x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),且x0时,f(x)0,f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数;(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明令xy0,知f(0)0;再令yx,则f(0)f(x)f(x)0,所以f(x)为奇函数(2)解任取x1x2,则x2x10,所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0,所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1
5、)6,f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6,f(x)minf(3)6.13.已知函数f(x)是(,)上的奇函数,且f(x)的图象关于x1对称,当x0,1时,f(x)2x1,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x1,2时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值解析 (1)证明函数f(x)为奇函数,则f(x)f(x),函数f(x)的图象关于x1对称,则f(2x)f(x)f(x),所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数(2) 当x1,2时,2x0,1,又f(x)的图象关于x1对称,则f(x)f(2x)22x1
6、,x1,2(3) f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1.14已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x2)f(x)(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若f(x)为奇函数,且当0x1时,f(x)x,求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数(1)证明f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x)f(x),f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当0x1时,f(x)x,设1x0,则0x1,f(x)(x)x.f(x)是奇函数,f(x)f(x),f(x)x,即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3,则1x21,f(x2)(x2)又f(x)是以4为周期的周期函数f(x2)f(x2)f(x),f(x)(x2),f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x),解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数,f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014,则n.又nZ,1n503(nZ),在0,2 014上共有503个x使f(x).