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1、高考专题突破一高考中的导数应用问题考点自测1函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1,) D(0,)答案B解析yx2ln x,yx(x0)令y0,得0x1,即递减区间为(0,1故选B.2已知函数f(x)asin 2xsin 3x (a为常数)在x处取得极值,则a的值为()A1 B0 C. D答案A解析f(x)2acos 2xcos 3x,f2acos cos 0,a1,经验证符合题意3函数f(x)x33x1,若对于区间3,2上的任意x1,x2,都有|f(x1)f(x2)|t,则实数t的最小值是()A20 B18 C3 D0答案A解析因为f(x)3x233(x1)(x1)
2、,令f(x)0,得x1,可知f(x)在x1处取得极值又f(3)19,f(1)1,f(1)3,f(2)1,所以在区间3,2上f(x)max1,f(x)min19.由题设知在区间3,2上f(x)maxf(x)mint,从而t20,所以t的最小值是20.4已知函数f(x)在1,)上为减函数,则实数a的取值范围为_答案e,)解析f(x),因为f(x)在1,)上为减函数,故f(x)0在1,)上恒成立,即ln a1ln x在1,)上恒成立设(x)1ln x,(x)max1,故ln a1,ae.5(2013安徽)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2.若f(x1)x1x2,则关于x的方程3(
3、f(x)22af(x)b0的不同实根个数为_答案3解析f(x)3x22axb;由已知x1,x2是方程3x22axb0的不同两根,当f(x1)x10,即(x22)ex0,因为ex0,所以x220,解得x0,所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立,即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1),则y10.所以y(x1)在(1,1)上单调递增,所以y0或f(x)0)上的最小值;(2)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:对一切x(0,),都有ln x成立思维点拨(1)求f(x),讨论参数t求最小值;(2)分离a,利用求最值得a的取值范围;(3)寻求所证不等式和
4、题中函数f(x)的联系,充分利用(1)中所求最值(1)解由f(x)xln x,x0,得f(x)ln x1,令f(x)0,得x.当x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增当0tt2,即0t时,f(x)minf();当t0),则h(x),当x(0,1)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立,所以ah(x)min4.(3)证明问题等价于证明xln x(x(0,)由(1)可知f(x)xln x(x(0,)的最小值是,当且仅当x时取到,设m(x)(x(0,),则m(x),易知m(x)maxm(1),当且仅当x1时取到从而对一切x(
5、0,),都有ln x成立思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解(2)证明不等式,可以转化为求函数的最值问题设函数f(x)xexx(x1)2.(1)若a1,求f(x)的单调区间;(2)当x0时,f(x)x2x2恒成立,求a的取值范围解(1)a1,f(x)xexx(x1)2xexx2x2,f(x)(ex1)(x1),当1x0时,f(x)0;当x0时,f(x)0,f(x)在(1,0)上单调递减,在(,1),(0,)上单调递增(2)由f(x)x2x2,得x(exx)0,即要满足exx,当x0时,显然成立;当x0时,即,记g(x)
6、,则g(x),易知g(x)的最小值为g(1)e,e,得a2(e1)综上所述,a的取值范围是(,2e2题型三利用导数研究方程解或图象交点问题例3已知f(x)ax2 (aR),g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性;(2)若方程f(x)g(x)在区间,e上有两个不等解,求a的取值范围解(1)F(x)ax22ln x,其定义域为(0,),所以F(x)2ax (x0)当a0时,由ax210,得x.由ax210,得0x0时,F(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减当a0时,F(x)0)恒成立故当a0时,F(x)在(0,)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间,e上有两
7、个不等解由(x)易知,(x)在(,)上为增函数,在(,e)上为减函数,则(x)max(),而(e)()所以(x)min(e),如图可知(x)a有两个不等解时需a.即f(x)g(x)在,e上有两个不等解时a的取值范围为a.思维升华对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时,求f(x)的图象在x1处的切线方程;(2)若函数g(x)f(x)axm在,e上有两个零点,求实数m的取值范围解(1)当a2时,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率kf(1)
8、2,则切线方程为y12(x1),即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m,则g(x)2x.x,e,当g(x)0时,x1.当x0;当1xe时,g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2,g(e)m2e2,g(e)g()4e20,则g(e)g(),g(x)在,e上的最小值是g(e)g(x)在,e上有两个零点的条件是解得10,故f(x)在(,2)上为增函数;当x(2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,)上为增函数由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)16c,f(x)在x2处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28,解得c12.此时f(3)9c21,f(3)9c3,f(2)16c4,