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1、第九章 解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系一、选择题1已知直线l的倾斜角满足条件sincos,则l的斜率为()A. B. C D解析 必为钝角,且sin的绝对值大,故选C.答案C2经过两点A(4,2y1),B(2,3)的直线的倾斜角为,则y()A1 B3 C0 D2解析由y2,得:y2tan 1.y3.答案B3若直线l:ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.解析如图,直线l:ykx,过定点P(0,),又A(3,0),kPA,则直线PA的倾斜角为,满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案B4过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的
2、直线方程为()Ax2y40 B2xy70Cx2y30 Dx2y50解析由题意可设所求直线方程为:x2ym0,将A(2,3)代入上式得223m0,即m4,所以所求直线方程为x2y40.答案A5设直线l的方程为xycos 30(R),则直线l的倾斜角的范围是()A0,) B.C. D.解析(直接法或筛选法)当cos 0时,方程变为x30,其倾斜角为;当cos 0时,由直线方程可得斜率k.cos 1,1且cos 0,k(,11,)tan (,11,),又0,),.综上知,倾斜角的范围是.答案C6将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则mn() A4
3、 B6 C. D.解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y2x3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是解得故mn.答案C二、填空题7若A(2,3),B(3,2),C(,m)三点共线,则m的值为_解析 由kABkBC,即,得m.答案 8直线过点(2,3),且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则这样的直线方程是_解析 设直线方程为为1或ykx的形式后,代入点的坐标求得a5和k.答案 yx或19已知直线l1:ax3y10与直线l2:2x(a1)y10垂直,则实数a_.解析由两直线垂直的条件得2a3(a1)0,解得a.答案10若两平行直线3x2y10,6xa
4、yc0之间的距离为,则的值为_解析由题意得,a4且c2,则6xayc0可化为3x2y0,由两平行线间的距离,得,解得c2或c6,所以1.答案1三、解答题11已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O为原点,是否存在使ABO面积最小的直线l?若存在,求出;若不存在,请说明理由解存在理由如下设直线l的方程为y1k(x2)(k0),则A,B(0,12k), AOB的面积S(12k)(44)4.当且仅当4k,即k时,等号成立,故直线l的方程为y1(x2),即x2y40.12已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点 (1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程; (2
5、)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0,即(2)x(12)y50,3.解得2或.l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.13已知直线l过点P(2,3),且被两条平行直线l1:3x4y70,l2:3x4y80截得的线段长为d.(1)求d的最小值;(2)当直线l与x轴平行,试求d的值解(1)因为324370,324380,所以点P在两条平行直线l1,l2外过P点作直线l,使ll1,则ll2,设垂足分别为G,H,则|GH|
6、就是所求的d的最小值由两平行线间的距离公式,得d的最小值为|GH|3.(2)当直线l与x轴平行时,l的方程为y3,设直线l与直线l1,l2分别交于点A(x1,3),B(x2,3),则3x11270,3x21280,所以3(x1x2)15,即x1x25,所以d|AB|x1x2|5.14已知直线l1:xy30,直线l:xy10.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,求直线l2的方程解法一因为l1l,所以l2l,设直线l2:xym0(m3,m1)直线l1,l2关于直线l对称,所以l1与l,l2与l间的距离相等由两平行直线间的距离公式得,解得m5或m3(舍去)所以直线l2的方程为xy50.法二由题意知l1l2,设直线l2:xym0(m3,m1)在直线l1上取点M(0,3),设点M关于直线l的对称点为M(a,b),于是有解得即M(4,1)把点M(4,1)代入l2的方程,得m5,所以直线l2的方程为xy50.