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1、第2讲 圆的方程一、选择题1已知点A(1,1),B(1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24解析AB的中点坐标为:(0,0),|AB|2,圆的方程为:x2y22.答案A2设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20,若0a1,则原点与圆的位置关系是 ()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(xa)2(y1)22a,因为0a0,所以原点在圆外答案B3已知圆C1:(x1)2(y1)21,圆C2与圆C1关于直线xy10对称,则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y
2、2)21D(x2)2(y2)21解析 只要求出圆心关于直线的对称点,就是对称圆的圆心,两个圆的半径不变设圆C2的圆心为(a,b),则依题意,有解得对称圆的半径不变,为1.答案B4若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1,则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6解析因为圆心(3,5)到直线4x3y20的距离为5,所以当半径r4 时,圆上有1个点到直线4x3y20的距离等于1,当半径r6时,圆上有3个点到直线4x3y20的距离等于1,所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1时,4r6.答案A5已知圆C:x2y2mx40上存
3、在两点关于直线xy30对称,则实数m的值为 () A8 B4 C6 D无法确定解析圆上存在关于直线xy30对称的两点,则xy30过圆心,即30,m6.答案C6圆心为C的圆与直线l:x2y30交于P,Q两点,O为坐标原点,且满足0,则圆C的方程为 ()A.2(y3)2 B.2(y3)2C.2(y3)2 D.2(y3)2解析法一圆心为C,设圆的方程为2(y3)2r2.设P(x1,y1),Q(x2,y2)由圆方程与直线l的方程联立得:5x210x104r20,x1x22,x1x2.由0,得x1x2y1y20,即:x1x2(x1x2)0,解得r2,经检验满足判别式0.故圆C的方程为2(y3)2.法二圆
4、心为C,设圆的方程为2(y3)2r2,在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的,即2(y3)2,故选C.答案C二、填空题7过两点A(0,4),B(4,6),且圆心在直线x2y20上的圆的标准方程是_解析 设圆心坐标为(a,b),圆半径为r,则圆方程为(xa)2(yb)2r2,圆心在直线x2y20上,a2b20,又圆过两点A(0,4),B(4,6),(0a)2(4b)2r2,且(4a)2(6b)2r2,由得:a4,b1,r5,圆的方程为(x4)2(y1)225.答案 (x4)2(y1)2258已知圆C:(x3)2(y4)21,点A(0,1),B(0,1)P是圆C上的动点,当|PA|2|P
5、B|2取最大值时,点P的坐标是_解析 设P(x0,y0),则|PA|2|PB|2x(y01)2x(y01)22(xy)2,显然xy的最大值为(51)2,dmax74,此时6,结合点P在圆上,解得点P的坐标为.答案 9已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为_解析由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,又OPQ为直角三角形,故其圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径为,圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)2510已知圆C:(x3)2(y4
6、)21,点A(1,0),B(1,0),点P是圆上的动点,则d|PA|2|PB|2的最大值为_,最小值为_解析设点P(x0,y0),则d(x01)2y(x01)2y2(xy)2,欲求d的最值,只需求uxy的最值,即求圆C上的点到原点的距离平方的最值圆C上的点到原点的距离的最大值为6,最小值为4,故d的最大值为74,最小值为34.答案7434三、解答题11已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程解(1)直线AB的斜率k1,AB的中点坐标为(1,2),直线CD的方程为y2(x1),即xy30.
7、(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4,|PA|2,(a1)2b240,由解得或圆心P(3,6)或P(5,2),圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12已知圆M过两点C(1,1),D(1,1),且圆心M在xy20上(1)求圆M的方程;(2)设P是直线3x4y80上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值解(1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0),根据题意得:解得ab1,r2,故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形PAMB的面积SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB
8、|,又|AM|BM|2,|PA|PB|,所以S2|PA|,而|PA|,即S2.因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线3x4y80上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|min3,所以四边形PAMB面积的最小值为S222.13已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点,求的最小值解(1)设圆心C(a,b),则解得则圆C的方程为x2y2r2,将点P的坐标代入得r22,故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x,y),则x2y22,且(x1,y1)(x2,y2)x2y2xy4xy2,令xcos ,ysin ,xy2(sin cos )22sin2,所以的最小值为4. 14已知点A(3,0),B(3,0),动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(2)若点Q在直线l1:xy30上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值解(1)设点P的坐标为(x,y),则2.化简可得(x5)2y216,此即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,由直线l2是此圆的切线,连接CQ,则|QM|,当CQl1时,|CQ|取最小值,|CQ|4, 此时|QM|的最小值为4