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1、【金版教程】2016届高三数学二轮复习 第一编 专题整合突破 5.3.1圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题 理1.2015兰州双基过关已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为e，过C1的左焦点F1的直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2. (1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由解(1)直线l的方程为xy20，令y0，得x2，即F1(2,0)，c2，又e，a26，b2a2c22，椭圆C1的方程为1.(2)圆心C2(3,3)到直线l：xy20
2、的距离d，又直线l：xy20被圆C2：(x3)2(y3)2r2(r0)截得的弦长为2，r2，故圆C2的方程为(x3)2(y3)24.设圆C2上存在点P(x，y)，满足|PF1|PF2|，即|PF1|3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(2,0)，F2(2,0)，则3，整理得2y2，它表示圆心是C，半径是的圆|CC2|，故有2|CC2|2.曲线C是以F1(1,0)、F2(1,0)为焦点，4为长轴长的椭圆曲线C的方程为1，即3x24y212.直线l经过点(1,0)，斜率为k，直线l的方程为yk(x1)直线l与直线x4交于点D，D(4，3k)设A(x1，kx1k)，B(x2，kx2k)由得(3
3、4k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.由2得2x2x14.由2x2x14和x1x2得x1，x2.x1x2，化简得4k4k250，解得k2或k210(舍去)k2，解得k.(2)由(1)知，A(x1，kx1k)、B(x2，kx2k)，x1x2，x1x2.(x1，kx1k)，(x2，kx2k)，x1x2(kx1k)(kx2k)(1k2)x1x2k2(x1x2)k2.不存在实数k，使AOB为锐角三角形.3.2015甘肃诊断已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线为yx，右焦点F到直线x的距离为. (1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、
4、D两点，已知A(1,0)，若1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切解(1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由，得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，M点的横坐标为1，MAx轴，|MA|BD|，过A、B、D三点
5、的圆与x轴相切.4.2015南宁适应性测试(二)已知抛物线C：y2x2，直线l：ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由解(1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2中，得2x2kx20，x1x2.xNxM，N点的坐标为.(2x2)4x，(2x2)k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k.直线l：ykx2的斜率为k，切线平行于AB.证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把ykx2代入y2x2中，
6、得2x2kx20，x1x2.xNxM，N点的坐标为.设抛物线在点N处的切线l1的方程为ym，将y2x2代入上式得2x2mx0，直线l1与抛物线C相切，m28m22mkk2(mk)20，mk，即l1AB.(2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.M是AB的中点，|MN|AB|.由(1)知yM(y1y2)(kx12kx22)k(x1x2)42，MNx轴，|MN|yMyN|2.|AB|.，k2，存在实数k2，使以AB为直径的圆M经过点N.5.2015潍坊一模已知点M是圆心为C1的圆(x1)2y28上的动点，点C2(1,0)，若线段MC2的中垂线交MC1于点N. (1)求动点N的轨迹方程；(
7、2)若直线l：ykxt是圆x2y21的切线且l与N点轨迹交于不同的两点P、Q，O为坐标原点，若，且，求OPQ面积的取值范围解(1)由线段MC2的中垂线交MC1于点N，得|MN|NC2|，则|NC1|NC2|NC1|NM|2|C1C2|2，所以动点N的轨迹是以C1，C2为焦点，以2为长轴长的椭圆，故2a2，2c2，即a，c1，得b21，所以动点N的轨迹方程为：y21.(2)因为直线ykxt是圆x2y21的切线，所以1，即t2k21，由得(12k2)x24ktx2t220，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以(4kt)24(12k2)(2t22)8k20，即k20，所以k0，所以x1x2，x
8、1x2，所以y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2tk(x1x2)t2，又t21k2，所以x1x2，y1y2所以x1x2y1y2，又，所以，即k21，又|PQ| 2，令k4k2，因为k21，所以，|PQ|22在上为递增函数所以|PQ|.又因为直线PQ与圆x2y21相切，所以点O到PQ的距离为1，所以SOPQ|PQ|，即|PQ|，故OPQ面积的取值范围是.6.2015太原一模已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求a、b的值；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足，0，求|的取值范围解(1
9、)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2内切圆面积取最大值，设此时PF1F2内切圆半径为r，则r2，r.此时SPF1F2|F1F2|OP|bc，又SPF1F2(|F1F2|F1P|F2P|)r(ac)，bc(ac)，e，a2c，b2，a4.(2)，0，直线AC与BD垂直相交于点F1，由(1)得椭圆的方程为1，则F1的坐标为(2,0)，当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|6814，当直线AC的斜率k存在且k0时，其方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立，消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，|x1x2|，此时直线BD的方程为y(x2)同理，由，可得|，| ，令tk21(k0)，则t1，|，t1，0，|.由可知，|的取值范围是.
