课件：生物医学数学

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1、生物医学数学模型,常 向 荣 2012年10月,2,教学要求,掌握生物医学数学的一些重要概念、公式与方法，了解数学在生物医学中的应用。 能够应用数学工具建立生物医学的数学模型 能初步掌握通过对模型的数学推理去研究生物医学领域相关问题的方法。,3,一 生物医学数学的发展,1.1 数学和生物医学的结合 现代生物医学发展趋势 定性研究走向定量研究，经历着数学化的发展进程 。,4,数学建模与当今医学,5,6,数学发展史上的四大危机说,第一次危机指初等数学智能反映简单的数量关系不能反映变化率 第二次危机暴露了数学只能反映确定现象及其规律而不能反映随即现象和统计规律 第三次危机暴露了二值逻辑的局限性和反映

2、模糊现象的局限性 第四次危机暴露了数学不能正确反映生命现象和人脑思维规律,7,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,8,1.1 数学化,一、什么是数学模型 数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 即，根据现实世界某对象特有的内在规律，进行必要的简化抽象，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图

3、示等。 二、建立模型的一般步骤 1. 数学化 2. 建模 3. 反馈,9,生物医学数学化的一般模式,医学实际问题 数学化(定量分析) 数学模型(定量化公式或定性指标) 计算机完成计算与论证 反馈修正(实践检验) 定性理论,10,数学化的方法,首先是将物理问题用数学作定量描述，利用数学方法计算推导建立模型，经过实践检验，求得新理论，使物理学的研究从定性的、描述性的水平，通过数学引向定量的、精确的论述。科学研究的这条数学化的途径，基本上是用于一切科学，它的一般模式是： 实际问题数学化（定量分析）数学模型（定量公式或定性指标）反馈修正（实践检验）定性理论,11,数学方法及应用,12,数学医学上的一些

4、例子, 医学统计学（Medical Statistics） 数学与计算机的结合在生物技术和生物医学工程方面的应用 数学是现代化医疗器械及医疗诊断方法的催化剂 数学模型在药物动力学上的应用 数学在心血管生理病理方面的应用,13,第一个运用数学方法研究生物医学问题的人,孟德尔在植物杂交研究中采用数理统计方法来对实验结果进行统计分析，并用概率论来加以说明。在生物学史上，孟德尔是第一个运用数学方法来研究生物学问题的人。 以后概率统计在医学的应用非常广泛，如显著性检验、回归分析、全概率公式、Bayes公式、计量诊断模型、最大似然模型、决策树概率分布，微生物检测等。,14,生物统计学的创立,1901年 P

5、earson 创立生物统计学，开创了统计数学在生物医学上的应用研究，打破了数学在生物医学上的应用等于零的局面。,15,生物数学的开创,1931年，Volterra应用微分方程组研究动态平衡，完成了生态竞争的数学原理，开创了一门新型分支：生物数学。 1935，Mottram对小白鼠皮肤癌生长规律进行了研究，认为肿瘤的瘤细胞总数 n 随时间的变化速度与 n 成正比，且获得了体瘤在较短时间内符合指数生长规律的研究成果。 20世纪30年代，Blair等人对神经兴奋理论进行了研究，并应用微分方程建模，将医学问题数学化，取得了著名的神经刺激理论模型。,16,模糊数学与生物医学结合,1969年美国控制论专家

6、、模糊数学创始人Zadeh发表的著名论文模糊集和系统在生物学中的应用，率先把模糊数学与生物医学联系了起来。,17,现代数学化模式在计算机出现后又有新的进展，例如： 近20年来出现了医学专家咨询系统，如： 病因相连模型（CASNET） 传染病治疗诊断系统（MYCIN） 内科病诊断系统（INTERNIST） 肾脏病诊断系统（PIP） 肺病诊断系统（PUFF） 他的模式： 专家治病经验数学化计算机学习反馈修正专家系统计算机问诊,18,INTERNIST-1 和QMR系统,INTERNIST-1系统是由Pittsburg医科大学开发的用于内科疾病诊断咨询系统。 通过疾病症状来推理疾病。收集了600多种

7、疾病的诊断知识，4500多临床表现。 给出诊断疾病的相关参数： 相关频率：在某种疾病中某临床症状发生的频率。 提示力度：某症状对疾病存在的提示强度。 处理用户输入的临床表现，得出一组诊断建议。 移植到微机上，称QRM(Quick Medical Reference),19,几个典型的医学决策支持系统,1、MYCIN 系统 MYCIN主要用于协助医生诊断脑膜炎一类的细菌感染疾病。在MYCIN的知识库里，大约存放着450条判别规则和1000条关于细菌感染方面的医学知识。它一边与用户进行对话，一边进行推理诊断。 它的推理规则称为“产生式规则”，类似于：“IF（打喷嚏）OR（鼻塞）OR（咳嗽），THE

8、N（有感冒症状）”这种医生诊断疾病的经验总结，最后显示出它“考虑”的可能性最高的病因，并以给出用药的建议而结束。,20,医学数学化应用举例,例1 研究颅内高压与颅内容积的关系。 用兔作实验，采用脑内持续灌注生理盐水的方法造成兔急性颅内压增高，发现颅内压随容积增加呈S形曲线有限增长。能否利用数学方法找出一个方程来拟合这条从实验中得出的曲线？能否从理论上探讨一般规律呢?,例2 研究血液在动静脉血管中的流量Q 单位时间的血流量Q能否有一般的数学公式呢？,21,a为增长速率，b为最大值,22,血液在血管中心处流得最快，管壁处流速为零，存在着从管心到管壁的速度递减，流过一个半径为r的圆环的流速为： 通过

9、该圆环单位时间的血流量 ： dQV(r)2rdr 单位时间血液总流量为 ：,23,1.2数学模型,一、什么是数学模型 数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 即，根据现实世界某对象特有的内在规律，进行必要的简化抽象，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 二、建立模型的一般步骤 1. 数学化 2. 建模 3. 反馈,24,三建立数学模型的要求：,1、真实完整 1）真实的、系统的、完整的反映客观现象； 2）必须具有代表性； 3）具有外推性 2、简明实用 模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。 3、适应变化 随着有关条件的变

10、化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况,25,二、数学模型的分类,根据应用领域和研究对象 经济模型、医学模型、地质模型、社会学模型、人口模型、交通模型、环境模型、生态模型等 按照建立模型的数学方法 几何模型、微分方程模型、图论模型、优化模型、概率模型、统计模型等,26,其它的分类方法,观察模型与决策模型 确定型模型与随机模型 连续模型与离散模型 解析模型与仿真模型 白箱模型，灰箱模型和黑箱模型,27,1.4 经典数学及其模型,基础知识 一元微积分 常微分方程的求解 偏微分方程的求解 数学物理方法 主要内容 2.1 引例 2.2 生态模型 2.3 医学模型 2.4 室分

11、析模型 2.5 扩散问题,28,引例,例I 细菌变化情况模型 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌24小时内由100(单位），增长到400(单位)，那么36小时后细菌数应该是多少? 例2 体重变化模型 某人摄人热量是每天2500大卡，其中1200大卡用于基本的新陈化谢在健身训练中，他所消耗的大约是每天每千克体重16大卡，设以肪形式贮藏的热量100地有效，而1干克脂肪含热量10000大卡求此人的体重至随时间变化的规律,29,2.2 生态模型,生物种群生长模型 自然生长曲线 微生物菌落增长模型 限制性生成曲线 人口模型 阻滞增长曲线,30,一、生态模型,一 生物种群生长模型,31,自然生长曲线,

12、马尔萨斯Malthus人口模型 令erY，则N=cYt，即人口按几何级数增长,32,2、 限制生长模型 对于一个群体不可能无限制的增长，用b表示N的上界，即N=N（t）可以趋近于b，,33,限制性生长曲线,Mitscherlich 模型,34,35,阻滞增长曲线,Logistic 模型,36,二、微生物菌落的增长模型,在生物界中，微生物具有很高的繁殖率，以大肠杆菌为例，在37度下培养的牛奶中，分裂一次需要12.5分，若以通常20分钟分裂一次，则一个细菌在24小时后，可产生4.7221021个，总重量达到4.722吨。 但实际上一个培养基内细菌或其它微生物的一个菌落往往因缺乏空间、缺乏养分及毒物

13、出现，培养基PH值变化的功能不会无限制生长。,37,38,三、人口模型,我国1982年末人口普查统计人口为10.319亿人，希望到2000年初人口控制在12亿，r应控制在多少？2001年末人口实际达到12.953 亿，r是否在控制范围内。（根据我国人口政策,我们假设人口总数控制在16亿 ）,39,严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。 1. 模型的建立 最早研究人口问题的是英国的经济系家马尔萨斯（17661834）。他根据百余年的人口资料，经过潜心研究，在1798年发表的人口论中首先提出了人口增长模型。他的基本假设是：任一单位时刻人口的增长量与当时的人口总数成正比。,40,41,

14、42,例： 人口预测和控制,图 1 人口金字塔（数据来源：1990 年上海市人口年龄结构。男左女右）,国际上通常将人口结构分为三类 ： （1）增长型（年轻型）：图形上表现为底部宽，顶部狭窄，即少年儿童人口比高，老年人口比低，显示人口快速成长。此类型人口结构的特点是死亡率快速衰减，而出生率未改变，或仅缓慢降低的结果。,（2）静止型（成年型）： 图形上表现为各年龄组的比例较相似。 这一类型人口结构的特点是低死亡率及接近更替水平的生育率。有当死亡率水平为千分之十至十五，妇女生育率低于 2 的情况存在至少 20 年，才会形成这类人口结构。 大部分生活水准高，预期寿命长，及成长率低的发达国家属于此类型。

15、,（3）缩减型（老年型）： 图形表现为顶部宽，底部相对较窄，显示一种负的人口成长结构。 通常发生在长期死亡率超过出生率时。这种类型的人口通常面临低生育率和老龄化的问题。,http:/ 上海人口与计划生育网站,48,2.3 医学模型,神经刺激理论模型 无移除的流行病模型 流行病催化模型 重金属毒物蓄积模型 肿瘤生长模型 颅内压与颅内容积的关系 血流量模型 血流动力学的基本方程,49,一 无移除流行病模型,设某种流行病感染（如呼吸道感染）有高度的传染力，但未严重到发生发生死亡或需要隔离的程度，感染通过一封闭团体内b个成人之间的接触而传播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，则所有易感者最终都将变为

16、感染者。,50,二 重金属毒物蓄积模型,金属毒物对机体的致病性影响研究已很广泛和详尽，随着近代生物数学的发展，目前对毒物在体内的定量分析取得了很大的进展。尤其在应用数学模型这一方法来表达金属毒物在机体内的吸收、蓄积和排出这三者之间的数量关系，从而来预测在长期接触某一顶浓度的金属毒物时集体内的蓄积量，并与预测接触者是否发生慢性中毒和中毒的发生时间。,最大蓄积量模型：,51,最大蓄积量模型-推导,吸收量在生产环境中毒物的吸收量常常较为恒定，看作一个常数 排出量在吸收量确定的情况下，取决于该毒物的生物半衰期T1/2 最大蓄积量在吸收量和T1/2确定的情况下，体内蓄积量随时间的变化趋于一个极限值 代谢动力学的一级动力学条件：,S：t时刻的体内毒物的浓度 K：毒物从体内排出的速度，负号表示排出,