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1、第三章质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()22；2233；.ABC D解析：中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0.故选C.答案：C2已知向量a(2,4,5)、b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：l1l2，ab，则，x6，y.答案：D3已知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1
2、,1)，在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为()A(2,2,0) B(2，2,0)C. D.解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H，故选C.答案：C4已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则与的夹角为()A30 B45C60 D90解析：(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，3，cos，60.答案：C5在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22，则P
3、，A，B，C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A5 B4C3 D2解析：|a|b|ab|a与b的夹角为，故是充分不必要条件，故不正确；b需为非零向量，故不正确；因为2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确，故选B.答案：B6已知向量，则平面AMN的一个法向量是()A(3，2,4) B(3,2，4)C(3，2，4) D(3,2，4)解析：设平面AMN的法向量n(x，y，z)，则即令z4，则n(3，2,4)，由于(3,2，4)(3，2,4)，可知选项D符合答案：D7已知空间三点A
4、(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()A(1,1,1) B(1，1，1)或(1,1,1)C(1，1，1) D(1，1,1)或(1,1，1)解析：设a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3，2)则解得a(1,1,1)或(1，1，1)答案：B8已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(0,2，3)设面SBC的法向量为n(
5、x，y，z)则令y3，则z2，x，n(，3,2)设AB与面SBC所成的角为，则sin.答案：D9直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A90 B60C45 D30解析：建系如图，设AB1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60.答案：B10已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A. B.C. D.解析：以D为坐标原
6、点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，所以(1,0,1)，.设平面AEFD1的法向量为n(x，y，z)，则x2yz，取y1，则n(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u，sinn，u.答案：C11在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB，则二面角APBC的平面角的正切值为()A. B.C. D.解析：设PAAB2，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)(0，2,2)，(，1,0)设n(x，y，z)是平面PBC的
7、一个法向量则即令y1，则x，z1.即n.易知m(1,0,0)是平面PAB的一个法向量则cosm，n.正切值tanm，n.答案：A12已知(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：Q在OP上，可设Q(x，x,2x)，则(1x,2x,32x)，(2x,1x,22x)6x216x10，x时，最小，这时Q.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，则当|取最小值时，x的值等于_解析：(1x,2x3，3x3)，则|，故当x时，|取最小值答案：14正方体
8、ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.答案：15已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c共面，则_.解析：由已知可发现a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得cxayb，即，解得.答案：16如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G
9、为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.解析：().答案：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解析：(1)易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)
10、，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin|cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.18(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，在
11、线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF，若不存在，说明理由解析：假设存在F点，使CF平面B1DF，不妨设AFb，则F(a,0，b)，(a，a，b)，(a,0，b3a)，.a2a200，恒成立由2a2b(b3a)b23ab2a20，得ba或b2a.当AFa或AF2a时，CF平面B1DF.19(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解析：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0
12、)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.20(本小题满分12分)如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别为AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小图1 图2解析：(1)证明：因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则A1(
