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1、构造二次函数求解几何图形中的最值学习了二次函数，我们就会经常遇到利用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值问题，特别是在处理有关几何问题的最值时，不少同学碰到此类问题总左右为难，苦于求解.事实上，处理这类问题，只要我们能抓住一个问题，即根据题意和几何图形的性质求出二次函数的表达式，再利用最值公式求解，即对于二次函数yax2+bx+c(a0)，若a0，则当x时，有最小值y；若a0，则当x时，有最大值y.现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：一、利用图形的面积构造二次函数例1为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，
2、另三边用总长为40m的栅栏围住（如图1）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？简析（1）由题意和矩形的面积公式，得yxx2+20x，且自变量x的取值范围是0x25，（2）yx2+20x(x20)2+200，由于 2025，所以当x20时，y有最大值200.即当x20时，满足条件的绿化带面积最大.二、利用几何体的体积构造二次函数例2某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图2所示的长方体游泳池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5m，长18m的墙的材料准备施工，设图
3、中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即ADEFBCxm.（不考虑墙的厚度）（1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？（2）求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？简析（1）因为ADEFBCxm，所以AB183x.所以水池的总容积为1.5x(183x)36，即x26x+80，解得x12，x24，所以x应为2或4.（2）由（1）可知V与x的函数关系式为V1.5x(183x)4.5x2+27x，且x的取值范围是：0x6.（3）V4.5x2+27x(x3)2+.所以当x3时，V有最大值.即若使水池有总容积最大，x应
4、为3，最大容积为40.5m3.图125mDCBA图2AEDFCB图3三、利用相似三角形构造二次函数例3在梯形ABCD中，ADBC，ABDCAD6，ABC60，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且BEF120，设AEx，DFy.（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？简析（1）如图3，在梯形ABCD中，因为ADBC，ABDCAD6，ABC60，所以AD120，所以AEB+ABE18012060.因为BEF120，所以AEB+DEF18012060，即AEBDEF，所以ABEDEF，所以.因为AEx，DFy，所以.所以y与x的函数表达式是yx(6x)x2+x.（2）因为yx2+x(x3)+.当x3时，y有最大值，最大值为.
