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1、.课时分层作业(七)椭圆的几何性质(建议用时:45分钟)基础达标练一、填空题1已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,焦距为2,则C的方程为_. 【导学号:95902097】【解析】根据已知条件知,又2c2,得a2,又b2a2c2413,椭圆方程为1.【答案】12设F1、F2为椭圆的两个焦点,以F2为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆的一个交点为M,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为_【解析】由题意知圆F2的半径为c,在RtMF1F2中,|MF2|c,|MF1|2ac,|F1F2|2c且MF1MF2.所以(2ac)2c24c2,220,e1.【答案】13直线yk(x2)
2、1与椭圆1的位置关系是_. 【导学号:95902098】【解析】直线yk(x2)1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得1,P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交【答案】相交4已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若AF1B的周长为4,则C的方程为_【解析】根据条件可知,且4a4,a,c1,b,椭圆的方程为1.【答案】15已知椭圆的短半轴长为1,离心率00,a21,1a2,故长轴长2b0)由得由a2b2c2,得b232.故椭圆的方程为:1.【答案】17椭圆1的左焦点为F,直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时,FA
3、B的面积是_. 【导学号:95902100】【解析】如图,当直线xm,过右焦点(1,0)时,FAB的周长最大,由解得y,|AB|3.S323.【答案】38已知椭圆方程是1,则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为_【解析】方法一:易知直线MN的斜率存在,设为k,则其直线方程为y1k(x1),由得(49k2)x218k(k1)x9k218k270,又设直线与椭圆的交点为M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1、x2是方程的两个根,于是x1x22,解得k,则所求的直线方程为y1(x1),即4x9y130.方法二:设M(x1,y1),N(x2,y2),则1 1 得k.直线l的方程为y1(x1
4、),即4x9y130.【答案】4x9y130二、解答题9(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等,求椭圆的离心率(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,求该椭圆的离心率【解】(1)由题意得:bc,e2,e.(2)由题意得:2bac,4b2(ac)2.又a2b2c2,4(a2c2)a22acc2,即3a22ac5c20,3250,即5230,e.10过椭圆1内点M(2,1)引一条弦,使弦被M平分,求此弦所在直线的方程. 【导学号:95902101】【解】方法一:依题意,该直线l的斜率存在设所求直线方程为y1k(x2),代入椭圆方程并整理,得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160
5、.又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1、x2是方程的两个根,于是x1x2.又M为AB的中点,2,解之得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点x1x24,y1y22.又A、B两点在椭圆上,则x4y16,x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.,即kAB.故所求直线方程为x2y40.能力提升练1已知椭圆1(ab0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若BAOBFO90,则椭圆离心率为_【解析】令右焦点为F,连结BF,由题意得
6、A(a,0),B(0,b),F(c,0),由椭圆的对称性知BFOBFO,又BAOBFO90,所以BAOBFO90,0,(a,b)(c,b)acb2aca2c20,得e2e10,求得e.【答案】2.如图223,P是椭圆1在第一象限上的动点,F1,F2是椭圆的焦点,M是F1PF2的平分线上的一点,且0,则OM的取值范围是_. 图223【导学号:95902102】【解析】延长 F2M交PF1于点N,由已知条件可知OMNF1(PF1PF2)aPF2,而acPF2a,所以OM(0,c),即OM(0,3) 【答案】(0,3)3已知椭圆1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为_【解析】
7、设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x28,y1y24,两式相减,得0,k.【答案】4.如图224,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在椭圆上,PF1F2的面积为2.图224(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点Q在椭圆C上,且F1QF2,求QF1QF2的值;(3)设直线yxk与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值. 【导学号:95902103】【解】(1)椭圆过点P(3,1),1.又S2c12,解得c2.又a2b2c2,解得a212,b24,椭圆的标准方程为1.(2)当F1QF2时,有QF1QF2.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得4x26kx3k2120.故x1x2,x1x2,y1y2.以AB为直径的圆经过坐标原点,x1x2y1y2k260解得k,此时1200,满足条件,因此k.