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1、矩阵,1. 矩阵的定义,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵,2. 矩阵的基本运算,矩阵相等:,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法、数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘：,乘法满足,矩阵乘法不满足： 交换律、消去律,A是n 阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,方阵的行列式：基本计算方法,满足:,转置矩阵:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,3. 逆矩阵,定义：,唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,推论
2、：,设A、B为同阶方阵，若,则A、B都可逆，且,可逆矩阵的性质,同阶可逆,证明：,逆矩阵求法：,（1）伴随矩阵法 （2）推论法 （3）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4. 分块矩阵,5. 初等变换,对换变换、倍乘变换、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换,矩阵的等价：,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。,初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵.,定理：,左乘变行，右乘变列,解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆),矩阵方程,解,伴随矩阵：,1、定义（项数、乘积项、符号）,2、结论：上（
3、下）三角行列式的值=对角线上元素之积,3、性质,4、特殊关系式,n阶方阵的行列式,5、展开定理,解：,2 设A、B都是n阶方阵，并且AB=0，则,3 设 A、B 都是 n 阶方阵，则,e,解,4,解,5,注 当A与B可交换时，有下面二项展开式,称为纯量矩阵，它与任何方阵可交换。,设分块矩阵 ，其中A是m阶方阵，B是,n阶方阵，证明 。,设,备用题,证明,对 作ri+krj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为,对 作ci+kcj 类型的变换将其化为下三角行列式，设为,于是，对 的前m行作与 相同类型的变换ri+krj ，再对后n列 作与 相同类型的变换ci+kcj ，化为下三角行列式,所以,类似地，若,其中A是m阶方阵，B是n阶方阵，,则,分别计算下面两个行列式,解,6,设 A为n方阵, 证明,证明：,(1)如果A=O, 则结论显然成立.,得A=O ,矛盾。,(2) 如果 , 由(1)结论成立。如果 ,如果AO,反证法,7,8,-29-,证明AB=0的充分必要条件,是B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解.,证,9,10,证明：,思考: AAT = O 如何?,-31-,设方阵B为幂等矩阵，,（即 ，从而对正整数k， ）,证明：A是可逆矩阵，且,证明,11,-32-,12,设 A , B 和 A+B 均可逆 ,证明 也可逆,并求其逆.,证,
