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1、湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题 一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则()ABCD2. 若是第三象限角，且，则（ ）. 3. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件是（ ）. . 5. 函数的零点所在的区间是（）A BCD 6. 若数列满足，则称数列为“梦想数列”。已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（ ）A2B4C6D87. 已知函数，则（ ）A B C D8下列四种说法中， 命题“存在”的否定是“对于任意”；命题“且为真”是
2、“或为真”的必要不充分条件；已知幂函数的图象经过点，则的值等于；已知向量，则向量在向量方向上的投影是.说法正确的个数是（ ）A1B2C3D49. 定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( ) AB CD10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）A BC. D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应的横线上）11.在等比数列中，且，成等差数列，则通项公式 .12.已知函数的图象如右图所示，则 13.函数的单调增区间是 .14.已知中的内角为，重心为，若，则 .15.定
3、义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）若二次函数满足，且.（1)求的解析式；（2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.17.（本小题满分12分）已知递增等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和，求证：.18（本小题满分12分）已知向量， (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，求（）的取值范围.19.（本小题满分12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契
4、举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价20.（本小题满分13分）已知函
5、数的导数为，且数列满足. （1）若数列是等差数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和；（3）若对任意都有成立，求的取值范围.21.（本小题满分14分）已知,其中.(1)若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值；(2)若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且 ，,求的值；(3)当时,若,是的两个极值点,当时,求证:.参考答案1.C. 2.C 3.A 4. C 5. C6.【解析】B依题意可得，则数列为等比数列。又，则。，当且仅当即该数列为常数列时取等号.7.B.8【答案】A【解析】命题“存在xR，x2-x0”的否定是“对于任意xR，x2-x0”，故不正确；命题“p且q为真”，则命题p、q均为真，
6、所以“p或q为真”反之“p或q为真”，则p、q不见得都真，所以不一定有“p且q为真”所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题不正确；由幂函数f（x）=x的图象经过点（2，），所以2，所以，所以幂函数为，所以，所以命题正确；向量在向量方向上的投影是，是和的夹角，故错误.9.【解析】A解析：由题意可知不等式为，设所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为10.【解析】依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值。要使关于的方程，有且只有6个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（1），且，此时，则；（2），此时同理可得，综上可得的
7、范围是.故选答案C.11.【解析】设，带入，解得，则，.12.【解析】依题意知，又过点，则令，得。故.13.【解析】函数的定义域为，又，则增区间为.14.【解析】解析 ：设为角所对的边，由正弦定理得，则即，又因为不共线，则, ,即所以，.15定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则_【答案】【解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以；当时，因为，所以，所以，所以，由此类推：，所以，所以，所以16【解析】 (1)由得，. .又，即，.(2) 等价于，即在上恒成
8、立，令，则，.17.【解析】（1）设公比为q，由题意：q1, ，则，则 解得： 或（舍去），（2）又 在 上是单调递增的18【答案】（2）解析：（1） （2）+由正弦定理得或 因为，所以 ,所以 19.解：(1)设每件定价为t元，依题意得t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)依题意知当x25时，不等式ax25850(x2600)x有解，等价于x25时，ax有解由于x2 10，当且仅当，即x30时等号成立，所以a10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
9、此时该商品的每件定价为30元. 20.解：，则，故（1）若数列是等差数列，则由得，解得： （2）由得 两式相减，得故数列是首项为，公差为4的等差数列数列是首项为，公差为4的等差数列，由 所以当当为偶数时， （3）由（2）知，当为奇数时，由令解得当为偶数时，由令 解得综上，的取值范围是21.【答案】(1),由题知,即 解得 (2)=, 由题知,即 解得,= ,由,解得;由,解得在上单调递增,在单调递减, 故至多有两个零点,其中,又=0,=6(-1)0,=6(-2)0 ，(3,4),故=3 (3)当时,=, , 由题知=0在(0,+)上有两个不同根,则1,则+11,+40 又0,1 则与随的变化情况如下表: (0,1)1(1, -)-(-,+)-0+0-极小值极大值|-|=极大值-极小值=F(-)F(1)=)+1, 设,则,在(,4)上是增函数,=3-4 所以.
