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1、33A BCDB1C1D1A1A CBA1B1C1自学专题五 空间向量 简单几何体一 能力培养1,空间想象能力 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力二 问题探讨问题 1(如图) 在棱长为 1 的正方体 ABCD 中,1-BC(1)异面直线 B 与 C 所成的角的大小为 ;A(2)异面直线 B 与 C 之间的距离为 ;1(3)直线 B 与平面 CD 所成的角的大小为 ;(4)求证:平面 BD/平面 C ;1A1D(5)求证:直线 A 平面 BD; (6)求证:平面 AB 平面 BD;11(7)求点 到平面 C 的距离; (8)求二面角 C 的大小.11B问题 2 已知斜三棱柱 ABC 的
2、侧面 AC1ABC1与底面垂直, , , ,0923且 A C, A = C.11(1)侧棱 A 和底面 ABC 所成的角的大小为 ;(2)求侧面 AB 和底面 ABC 所成二面角的大小;1B(3)求顶点 C 到侧面 AB 的距离.134ABCDEF三 习题探讨选择题1 甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为 ,则以四个氢原子为顶点a的这个正四面体的体积为A, B, C, D,3827a3827a31a3892 夹在两
3、个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是等圆,则它们的体积之比为A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33 设二面角 的大小是 ,P 是二面角内的一点,P 点到 的距离分别为 1cm,a06,2cm,则点 P 到棱 的距离是A, B, C, D,213cm213cm23c4213cm4 如图,E,F 分别是正三棱锥 A BCD 的棱 AB,BC的中点,且 DE EF.若 BC= ,则此正三棱锥的体积是aA, B,32a324C, D,3131a5 棱长为 1 的正八面体的外接球的体积是A, B, C, D,642782323填空题6 若线段 AB 的两端点到
4、平面 的距离都等于 2,则线段 AB 所在的直线和平面的位置关系是 .7 若异面直线 所成的角为 ,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线 上到 A,B 距离为,ab06,ab2 和 1 的两点,当 时,线段 AB 的长为 .3EF8 如图(1),在直四棱柱 中,当底面四边形 满足条件 1ABCDABCD时,有 C (注:填上你认为正确的一种条件即可 ,不必考虑所有可能的情形)135CDFAB OCD EO1A1AB CDPQABCDA1B1C1图(1) ABE NM 图(2)9 如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题 :AB 与 EF 所连直线平行 ; AB 与 CD 所
5、在直线异面 ;MN 与 BF 所在直线成 ; MN 与 CD 所在直线互相垂直 .06其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)解答题10 如图,在 中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC 分别交 AB,AC 于 D,E.将 沿ABC DEDE 折起来使得 A 到 ,且 为 的二面角,求 到直线 BC 的最小距离.1DEB06111 如图,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC= ,PA 平面 ABCD,且 PA=1.a(0)(1)问 BC 边上是否存在点 Q 使得 PQ QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点 Q,使得 PQ QD,求这时二面角 Q 的正切.DAD136参考答
6、案:问题 1(1)解:如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系,有 (1,0,1),B(1,1,0), (1,1,1),C(0,1,0)1A1B得 , ,设 与 所成的角为 ,则1(0)AB1(,0)C1BC,又 ,得1cos200806所以异面直线 B 与 C 所成的角的大小为 .1 06(2)设点 M 在 B 上,点 N 在 C 上,且 MN 是 B 与 C 的公垂线,令 M ,1A1A(1,)mN ,则()n(,)nmn由 ,得 ,解得 ,10BC)(,)0(1,1, 23n所以 ,得 ,即异面直线 B 与 C 之间的距离为 .()3MN3N1A(3)解:设平面 CD 的法向量为 ,而 ,
7、由 , ,11()nxyz(0)D1nD1BC有 ,得 ,于是 ,(,)(0,)xyz01n设 与 所成的角为 ,则1nAB,又 ,有 .1(0)(1,)cos 22001802所以直线 B 与平面 CD 所成的角为 .1103(4)证明:由 /C ,C 平面 C ,得 /平面 C ,AD1BD1A1BD又 BD/ , 平面 C ,得 BD/平面 C ,11而 ,于是平面 BD/平面 C .B11(5)证明:A(1,0,0), (0,1,1), , ,1()A(0)DB有 及 ,得1(,)0,AC 1(1,)0, , ,B1D137于是,直线 A 平面 BD.1C1(6)证明:由(5)知 平面
8、 BD,而 平面 AB ,得平面 AB 平面 BD.A1C11C1A(7)解:可得 C=C = = ,有1BD121203()sin6BDS由 ,得 ,即 ,得11ABCABV1()33BCh1h所以点 到平面 的距离为 .11(8)解:由(3)得平面 CD 的法向量为 = ,它即为平面 的法向量.1B1n(0)1ABC设平面 的法向量为 ,则 , 1CD2(xyz212nD又(0,)(,)由 ,得 ,所以0(,)(1,)xyzyxz2(1,)n设 与 所成的角为 ,则1n212(0)(1,)6cos 3所以二面角 的大小为 .11ABCDarcos问题 2 解:建立如图所示的空间直角坐标系
9、,由题意知 A ,B(0,0,0),C(0,2,0).(2,0)又由面 AC 面 ABC,且 A = C,知点 , ,111,31(2,3)平面 ABC 的法向量 .(0,)n(1) ,得11 22,3)(0,cos,(1A 01,45An于是,侧棱 和底面 ABC 所成的角的大小是 .1 045(2) 设面 AB 的法向量 ,则由(2,0)B1AB1()nxyz1(,3)230nAxyz381(,)(2,0)20nABxyzx得 , .于是, ,又平面 ABC 的法向量 ,得031(3n(01)n,有 .11,)1cos, 24n1,6所以侧面 AB 和底面 ABC 所成二面角的大小是 .1
10、AB0(3)从点 C 向面 AB 引垂线,D 为垂足,则1 6CBD21(0),3)4knDk 所以点 C 到侧面 AB 的距离是 .AB习题1 过顶点 A,V 与高作一截面交 BC 于点 M,点 O 为正四面体的中心 , 为底面 ABC 的中心,1O设正四面体 VABC 的棱长为 ,则 AM= =VM, = ,m321M36Am, ,得123OAM116V1Va在 中, ,即 ,得 .1Rt221OA223()()3ama63m则 ,有 .选 B.1V43a20318(sin6)37VABCVO温馨提示:正四面体外接球的半径 :内切球的半径 = .1:1a2 ,选 B.322134:():(
11、)()33RR3 设 PA 棱 于点 A,PM 平面 于点 M,PN 平面 于点 N,PA= , ,则atPAM,得 ,有 或 (舍去),0sin(6)2tcos5insi27所以 ,选 A.1sin3tm4 由 DE EF,EF/AC,有 DE AC,又 AC BD,DE BD=D,得 AC 平面 ABD.39由对称性得 ,于是 .09BACDBA2BACDa,选 B.3122()34BACDVaa5 可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有 ,得 ,2r外接球的体积 ,选 D.342Vr6 当 时,AB/ ;当 时,AB/ 或 AB ;当 时,AB/ 或与 斜交.2ABAB2AB7 由 ,得E
12、FF22cosEFE(1)当 时,有 ,得 ;0194(2)当 时,有 ,得 .122AB6AB8 AC BD.(或 ABCD 是正方形或菱形等)9 将展开的平面图形还原为正方体 ,可得只,正确.NCFEMD10 解:设 的高 AO 交 DE 于点 ,令 ,ABC1Ox由 AO= ,有 ,21352在 中, ,有O0162 0111cos6AAO得 .21()Ax当 时, 到直线 BC 的最小距离为 6.6111 解:(1)( 如图)以 A 为原点建立空间直角坐标系,设 ,则BQxQ ,P(0,0,1),D 得 ,(,0x(0,)a(1,)Px(1,0)Da由 ,有 ,得 PD1,0x 2x若方程有解,必为正数解,且小于 .由 , ,得 .()42(i)当 时,BC 上存在点 Q,使 PQQD;2a(ii)当 时, BC 上不存在点 Q,使 PQ QD.0(2)要使 BC 边上有且只有一个点 Q,使 PQ QD,则方程 有两个相等的实根,这时, ,得 ,有 .2()402a1x40又平面 APD 的法向量 ,设平面 PQD 的法向量为1(0)n2(,)nxyz而 , ,(0)QD,2,1(0,)P由 ,得 ,解得2n(),0,xyz,2xyz有 ,则2(1),则1212(,)1,2cos, 6n12tan,5所以二面角 的正切为 .QPDA5
