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1、函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数所表示的曲线是向上凸的,而 所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相yx2yx类似的.或更准确地说：从几何上看,若 yf(x)的图形在区间 I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若 yf(x)的图形在区间 I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数 ()fx在区间 I上是凸的（向下凸）,任意 1x, 2I（ 12x）.曲线 y上任意两点 1(,)Af, ()Bf之间的图象位于弦 AB的下方,即任意12(,
2、)x, (fx的值小于或等于弦 在 x点的函数值,弦 的方程211()()(ffyfx.对任意 12(,)x有,整理得 21122()()xxfff.令21()xt,则有 0t,且 12()xttx,易得1tx,上式可写成122()()fff1.1 凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。设 21 1212:,0,1fIRIf ffxxx若 不 等 式 成 立， （1）则称 为 上的凸函数。若fI12,（2）121ff不 等 式则称 为 上的严格凸函数。若（1）与（2）式中的不等式符号
3、反向，则分别称 为 上的凹函数与严fI fI格凹函数。显然， 为 上的（严格）凸函数 是（严格）凸的。因此，只要研究凸函数的性质与判别fIf法，就不难得到凹函数的相应的判别法。直接用定义来判别函数的凸性是比较困难的，下面的等价命题可以提供给我们判别函数凸凹性的一些依据：若 在 内二次可微，则下面关于凹函数的四个命题等价：,fxCab,1. 21 1212:,0,1fIRIf ffxx若 不 等 式 成 立。其几何意义是“现在曲线的上方”;2. 其几何意义是“切线在曲线的下方” ；000,fxf abx3. ；,ab在 上 单 调 递 增4. f定义 2 设曲线 yf(x)在点( )处有穿过曲线
4、的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别0,(xf是严格凸或严格凹的,这时称( )为曲线 yf(x)的拐点.必须指出；若( )是曲线 y=f（x)的一个拐点,yf(x)在点 的导数不一定存在,如0,(xf 0x在 x0 的情形.3y1.2 凸函数的特征引理 f 为 I 上的凸函数 对于 I 上任意三点 总有：123x(3)2213()()ffxff()fx严格凸函数 上式严格不等式成立.证 记321x,则 0及 213()xx, 由 f的凸性知213()()()fxff221133()xff(4) 从而有 312321213()()()(fxfxfx即 32() )xf整理即得 )式.13,
5、xI13()x, (0,1)记 213()xx,则 123x,321x由必要性的推导步骤可逆,从 式便得 4式.故 f为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即 123,xI, 123x,有2131()()fffxf()fx严格凸函数 上式严格不等式成立.定理 设 为开区间 上的凸函数若 则 在 上满足利普希茨条件,且在 上连续证明 (证明开区间 上的凸函数必为连续函数 )当取定 后,由 为开区间,必可选取中的四点 满足：如图所示,再在 中任取两点 .应用引理得到令,则, 显然,上述 L 与 中的点 无关,故 在 上的每个内闭区间 上满足利普希茨条件由此容易推知 在 上连续,再
6、由 在 上的任意性,又可推知 在 上处处连续如果 f 是 I 上的可导函数,则进一步有：1.3、凸函数与导数的关系定理 1（可导函数为凸函数的等价命题） 设 f 为区间 I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f为 I 上的凸函数；（2） 为 I 上的增函数；（3）对 I 上的任意两点 总有 f 12,x21121()()xfx证 (i) (ii) ,并取 ,使据定理 3.12,有由 可微 ,当 时,对上述不等式取极限后,得到所以 是 上的递增函数(ii) (iii) 由微分中值定理和 递增,便可证得当 时,也有相同结论(iii) (i) ,并记 ,则有, 由(iii)可得.注 定理中(i
7、ii) 的几何意义如下图所示:曲线 上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系 (iii)来表述凸函数但是在没有可微条件假设时 ,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义 1)来定义如果 f 在 I 上二阶可导,则进一步有：定理 2（凸函数与二阶导数的关系） 设 f 为 I 上的二阶可导函数 ,则在 I 上 f 为凸（凹）函数 （ ）, . f为严格凸 1） ()0x；2） ()x不在 上的任一子区()0fx()fxI间上恒为零.此定理说明： f为严格凸,则曲线中不含有直线段（ ()0fx）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为 f凸,则 凹）.可导
8、函数 有如下相互等价的论断：1） f为 I上凹函数.2） 123,xI, 123x有3221()()fxffxf.即割线斜率递减.3） ()f为 上递减函数 .4） 0xI,有 00()()fxfx, xI.当 f在 I上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价.5）在 I上 ()f.对严格凹的情形可类似得出等价论断.二、拐点定义 2 设曲线 yf(x)在点( )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是0,(xf严格凸或严格凹的,这时称( )为曲线 yf(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若( )是曲线 y=f（x)的一个拐点 ,yf(x)在点 的导数
9、不一定存在,如 在 x0 的情形.0,xf 0x3y定理 3（拐点必要条件） 若 f 在 二阶可导,则( )为曲线 yf(x)的拐点的必要条件是00(f.0()fx综上知：( )的拐点,则要么（1） ；要么（2 ）f 在 点不可导.0,(fx0()fx0x定理 4 设 f 在点 可导,在某邻域 内二阶可导,若在 和 上 的符号相U()U()(fx反,则( )为曲线 yf(x)的拐点.0,(x例 1 讨论函数 arctnfx的凸性与拐点.解 2()1)f,因而当 0x时, ()fx；当 0时, ()fx,从而函数f为 (,0上的凸函数,在 0上为凹函数.而 在原点连续,故原点为曲线 y的拐点例
10、2 若 f在 (,)ab内可导、凸（凹）函数,则 0(,)xab为 f的极小（大）值点 0()fx.即 0为 的稳定点 .证 ）费马定理.）因 f凸,故 (,)xab有 00()()fxfx.因 0()fx,故()xab总有 0f.即 为 的极小值点.例 3 设 f在开区间 I上为凸（凹）函数 ,证明 f在开区间 I内任一点 0x都存在左、右导数.证 只证凸函数 在 0x存在右导数,其它情形同理可证.令 120h,记 101xh, 202x,则 012x（取 |h充分小使 02xhI）,由 (3)式得：010020()()(fxfxfhfxh记 00()()ffF)则有 21()h即 (h为单
11、调递增函数.取 4xI且 40x,则004)()(fxffhf,从而 ()Fh递增有下界,从而 0lim()hF存在,即 0()fx存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为 .由第五章1 习题 10 知（若 f在 0x的左、右导数都存在,则 f在 0x连续）,若 f在为开区间 (,)ab内的凸（凹）函数 ,则 f为 (,)ab内的连续函数.（但不一定可导,如 ()|）三凸凹性的应用了解函数凸凹性的判别依据后，我们更在乎在应用领域，它所发挥的重要而广泛的价值。3.1 凸凹性质的应用例题 4 设 也是, max,.fxghfgx为 a,b上 的 凹 函 数 ， 求 证 ：上的凹函数。,a
12、b证：设 有1212120,ttx则 对由此推出112,gghxtx12 12max(,),(h gf hxtttt由凹函数的定义，即知 是 上的凹函数。h,b命题 设 为区间 上得二阶可导函数，如果有 ，那么x, 0x其中 是正数，11nnkkxk11,23;.nkA且证明 记 ，那么有泰勒公式得01nk00 2,0,2kk nkkxxx A其中 由题设 ，于是0,kk是 在 之 间 的 一 个 常 数 ， 证毕。0111 1nnn nkkkkkxxxx 特别地，我们可以有如下推论。推论 设 为区间 上连续， 内二阶可导函数，且 ，,ab,ab0设 是区间 上的可积函数， ，那么有fxcdf
13、x。11ddccff对于函数凸凹性的应用另一个方面是在不等式中，而实际中凸函数在不等式中的证明是最常见的。例题 5 设 ，证明0fx101nfxdf证明 由 知， 是一个凸函数，而 是一个ffnx正值函数且满足 ，于是由上面的结果知01nx1100nnfxdfdx化简得 证毕。100nnfdfdxf例 6 证明: 对 有不等式 .,Ryx)(21yxyxee例 7 设 0i(1,2)n ,则 121212 nnnxxxx当且仅当所有 i全相等时等号成立 .证 所有 ix全相等时,等号显然成立 .只须证 ix不全等时,有严格不等号成立即可 .取 ()lnf,则 f在 (0,)上严格凸,由例 4
14、知 112 121l (ln)l()ni nixxxx 即 1212lnlnn 因 lnx严格增,故有 1212nnxxx 又 ix不全等 i不全等,故 1112ln(ln)li nii nxxx所以 121nnix例 8 在 中, 求证 .ABC23sisiCBA解 考虑函数 在xxfxxf sin . 0, sin .0 ,sin)( 区间 内凹, 由 Jensen 不等式, 有)0(.23sin33)()(3siCBsinA CBAffBfAf.2sinsi 4.1 多元函数凹凸性的几个定义定义 4.1.16 设 D 是 n 维空间的一个区域，若 1212(,.),(,.)nnpxDpxD则（1）设 总能分解成xyf则 (,).,(,)(,),),xyxyghyfgfhfgfh在 D 上是凹（凸）的；f(,（2）设（1）的条件成立并且关于 的两个不等式中，,xyf 121(),().(),nnQ
