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1、 因式分解 例题讲解及练习【例题精选】： （1） 评析：先查各项系数（其它字母暂时不看），确定5，15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解： =（2） 评析：多项式的第一项系数为负数，应先提出负号，各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y 解: = = =（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a) 评析：在本题中，y-x和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现，所以应提取y-
2、x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a) =(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a) =(y-x)(b-a)（4） （4） 把分解因式 评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式，剩余的多项式16y4-1具备平方差公式的形式解：=2=2=（5） （5） 把分解因式 评析：首先提取公因式xy2，剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。 对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦。 解： =xy2(x6-y6)= xy2= =（6）把分解因式 评析：把(x+y)看作一个整体，那么这个多
3、项式相当于(x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析，善于把(x+y)代换完全平方公式中的a，（6Z）换公式中的解： =(x+y-6z)2（7） （7） 把分解因式评析：把x2-2y2和y2看作两个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方式。解： = = =（8） （8） 分解因式a2-b2-2b-1 评析：初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=(a+b)(
4、a-b)-(2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组。解：a2-b2-2b-1= a2-(b2-2b+1)=a2-(b+1)2=a+(b+1)a-(b+1)=(a-b-1)(a+b+1)一般来说，四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”。四项式“二、二”分组，只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9） （9） 把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 解法二：a2-ab+ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)
5、 =(a-b)(a+c)（10） （10） 把分解因式解法一： =解法二： =说明：例（2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例。（2）题解法一 1：1，解法二也是1：1；（3）题解法一是1：1，解法二是2：（-3）(11) 分解因式评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式。如是，就考虑“一、三”分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：=解法二：= =解法三：= =（12） （12） 分解因式(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(a-b)2-1-2
6、c(a-b)+c2 =(a-b)2-2c(a-b)+c2-1=(a-b)-c2-1=(a-b-c)2-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式8a2-5ab-42b2 8a -21b解：8a2-5ab-42b2 a +2b =(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab（14） （14） 分解因式a6-10a3+16 解：a6-10a3+16 a3 -2 =( a3-2)( a3-8) a3 -8 =( a3-2)(a-2)(a2+2a+4) -8a3-2a3 =-10a3（15） （15） 分解因式-x2+x+30解：-x2+x+30 （先提出负号） x +5
7、 =-( x2-x-30) x -6 =-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x（16） （16） 分解因式12(x+y)2-8(x+y)-7 解：12(x+y)2-8(x+y)-7 2(x+y) +1 =2(x+y)+16(x+y)-7 6(x+y) -7 =(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8（17）把分解因式评析：此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把-1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：解： = = =（18） （18） 把分解因式评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把-1提出之后
8、恰好也是完全平方式，这样分组后又可用平方差公式继续分解。解： = = =（19）分解因式 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6，即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a-1）解： = = = = （20）把分解因式解： = = = = （21）把分解因式 评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解，有。它又回到例3（1）的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x2-3x）解： = = = = = = （
9、22）把分解因式 评析：不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有16=23=6 利用结合律会出现a2+6 解： = = =（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9分解因式 评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x）作为一个整体a同时出现在两个因式中，即（a+7）（a+15）-9的形式，展开后有a2+22a+96，利用十字相乘，得到（a+6）（a+16）而分解。 解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9 =（x+1）（x+7）（x
10、+3）（x+5）-9 = 以下同于例3 = =+96 = =（24）把x（x+1）（x+2）（x+3）-24分解因式 评析：通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x），第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2）-24，此时已易于分解 解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24 =x（x+3）（x+1）（x+2）-24 = = = =（25）把分解因式评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解： = =（26）把分解因式 评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和（c+d）。据此可把
11、它们看作为一个整体。 解： = = = =（27）把分解因式 评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体（1+a） 解： = = =（28）把分解因式 评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到 此时可设 再用待定系数法求出m和n 解：设 = 比较两边对应系数 得到 m+2n=2 -3n+2m=11 mn=-4 由和 得到m=4，n=-1 代入也成立 =（2x-3y+4）（x+2y-1）（29）把分解因式 解： = =（x+4y+m）（x-2y+n） = 有 m+n=-4 4n-2m=-10 mn=3 由和 得到m=-3，n=-1 代入也成立 =（x+4y-3）（x-2y-1）（30）当x+y=2时，求的值 评析：x+y=2这是唯一的条件。要从中找到x+y或有关（x+y）的表达式 解：=（x+y）（）+6xy x+y=2 原式= =2=8 （31）己知=2 求的值解：=2原式=2（2）2-3=2 （32）己知x-y=2，求的值解： = = （x-y） -3a = （x-y） +2a x-y=a 原式=【综合练习题】一、 一
