向量组及其线性相关性

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1、邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第四章 向量 组及其线性相关性,第一节 n维向量组及其线性组合,一、 维向量的概念,二、 向量组的线性组合,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,例如,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量的表示方法,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,向量

2、组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,二、 向量组的线性组合,向量 能 由向量组 线性表示,定理1,例4.1.3 设向量,问： 与 中哪个可以 由线性表示，哪个不能？,前两列构成的矩阵的秩为2，前三列构成的矩阵的秩为3，因此 不能用 线性表示。,一、二、四列构成的矩阵的秩为2，因此 可以用 线性表示.,定义：设有两个向量组：,（1）若B组中每一个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B可以由向量组A线性表示；,（2）若向量组A与向量组B可以相互线性表

3、示，则称向量组A与向量组A等价。,定理（1）向量组B可以由向量组A线性表示的充分必要条件是 。,（2）向量组A与向量组A等价的充分必要条件是 。,向量组等价与矩阵等价有何区别与联系？,例4.1.5 向量组 A:,证明向量 可由线性表示，并求出表示式.,例4.1.6 向量组,问(1)当 为何值时，向量组A与B等价？,(2)当 为何值时，向量组A与B不等价？,B中哪个向量不能用向量组A线性表示？并将可以用向量组A表示的向量表示出来。,从而,邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第二节 向量组的线性相关性,第二节 向量组的线性相关性,一、向量组的线性相关与线性无关,二、线性相关性的判定,注意,定义1

4、,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,一、向量组的线性相关与线性无关,例4.2.2 设向量组 线性无关，且,证明 线性无关,证,定理,二、线性相关性的判定,例4.2.2 设向量组 线性无关，且,证明 线性无关,证法2,由于,从而,故 线性无关,解,例,分析,例4.2.3 当 满足什么条件时，向量组,线性相关？,定理 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数 使,因 中至少有一个不为0，

5、,不妨设 则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,例 判别如下方程组的线性相关性,解：,由于 ，因此方程组的线性无关的。,定理,证明,说明,说明,1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点）,2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（难点）,四、小结,思考题,证明 （）、（）略,（）充分性,必要性,思考题解答,邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第三节 向量组的秩,一、最大线性无关向量组,二、矩阵与向量组秩的关系,定义,一、最大线性无关向量组,定理,二、矩阵秩与向量组秩的关系,结论,说明,事实上,定理,三、向量组秩的

6、重要结论,推论1,推论2,思考,证一,证二,注意,例4.3.4 设4维向量组,问 (1) 为何值时， 线性相关？,(2) 当 线性相关时，求其一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示,例4.3.5 已知向量组A与向量组B,如果向量组A与向量组B秩相等，且 可以由 线性表示，求 。,最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性, 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩矩阵列向量组的秩 矩阵行向量组的秩, 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论, 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换,四、小结,邱启荣 华北电力大

7、学数理系 QQIR,第四节 线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,二、基础解系及其求法,三、非齐次线性方程组解的结构,解向量的概念,设有齐次线性方程组,（1）,一、齐次线性方程组解的结构,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,若记,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法

8、,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组的基础解系,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,方程组的基础解系不是唯一的,2若 是 的基础解系，则 其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,例4.4.2 矩阵秩 为2，向量,是齐次线性方程组的解向量 ，求方程组的一个基础解系和通解。

9、,解 . 矩阵 秩为2， 由定理4.4.1知，方程,组 基础解系中的解向量个数为2.,由于 线性无关，所以它们是方程组的一个基础解系.,方程组的通解为：,例4.4.3 设n阶方阵A的秩为n-1，且代数余子式 ，求齐次线性方程组 的通解.,解：由于,则 是,非零向量 .,为 的非零解。,又A的秩为n-1，方程组 的基础解系中仅有一个解向量，因此,是方程组 通解，其中 为任意实数.,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的结构,证明,证毕,在线性方程组 中，若把等式右边的非零向量 换成零向量，则得到一个齐次线性方程组 。,齐次方程组。,其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次

10、线性方程组的任意一个特 解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数 表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效 的计算方法,例4 求解方程组,解,例4.4.5 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 是它的三个解向量，且,求该方程组的通解,解 由于四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为

11、3，,故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于,均为方程,组的解，由非齐次线性方程组解的结构理论得 基础解系：,故此方程组的通解为：,齐次线性方程组基础解系的求法,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为 最简形,四、小结,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一 个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系., 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,邱启荣 华北电力大学数理系 QQIR,第六节 综合与提高,一、 本章知识回顾,二、典型例题,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,定义, 向量的定义,向量的相等,零向量,分量全为

12、0的向量称为零向量,负向量,向量加法, 向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运 算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组,定义, 线性组合,定义, 线性表示,定理,定义,定义,定理, 线性相关与线性无关,定理,定义, 向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，且向量组 能由

13、向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组, 向量空间,定义, 子空间,定义, 基与维数,向量方程, 齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程, 非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系, 线性方程组的解法,第一步：对系数矩阵 进行初等行变换，使其 变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为 特解的第 个分量，其余 个分量全部取 零，于是得,

14、即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、解的结构理论,二、典型例题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1 从定义出发,整理得线性方程组,方法 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定,例 研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的 秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量 所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给 出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等 行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩， 而且可以求出最大线性无关组,若矩阵