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1、课件,1,第5章 相似矩阵,本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下内容： 方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法,课件,2,的特征值，非零列向量 称为方阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.1.1 方阵的特征值与特征向量,定义1 设,是一个 阶方阵,如果存在数 及,维非零列向量,使得,那么,这样的数,称为方阵,的对应于(或属于) 特征值的特征向量,课件,3,是方阵
2、的特征值, 是对应的特征向量,(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组),是方阵 的特征值,是对应于 的特征向量,是齐次线性方程组,的非零解,(右式称为 的特征多项式,记为 , 称为特征方程),课件,4,(设 ),求方阵的特征值与特征向量的步骤,计算 的特征多项式 求出特征方程的所有根（重根按重数计算）： 对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组 的一个基础解系,为对应于 的全部特征向量.,不全为零),则,课件,5,例1 求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,的特征值为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,课件,6,对于特征值,解方程,由,
3、得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,课件,7,例3 求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,有2重特征值,，有单特征值,对于特征值,，解方程,，,得同解方程组,故得通解,所以,对应于特征值,的全部特征向量为,由,课件,8,对于特征值,，解方程,.由,得同解方程组,故得通解,对应于特征值,的全部特征向量为,课件,9,重特征值算作,阶方阵,是可逆方阵,5.1.2 特征值的性质,性质1 若,的全部特征值为,（,个特征值）则：,性质2 设,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应,向量, 且,则,特征向量;,课件,10,是方阵,性质3 设,的一个特征值，,为
4、对应的特征,是,的一个特征值，,为对应特征向量;,向量,则,是一个正整数,是方阵,性质4 设,的一个特征值，,为对应的特征,是,的一个特征值，,为对应特征向量;,向量, 若,则,课件,11,的特征值都不为零，知,可逆，故,例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求 ,解 因为,.而,所以,把上式记作,，则,故,的特征值为：,于是,课件,12,的互不相同的特征值，,5.1.3特征向量的性质,是方阵,性质1 设,的一个特征值，,为对应的特征,向量,若又有数,，则,性质2 设,是方阵,是对应于,的特征向量,则向量组,即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关,线性无关,课件,13,的相似矩阵，或称方阵,5.2
5、 相似矩阵,定义2 设,都是,阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称,是,与,相似，记作,，有,，从而, 即,如,5.2.1 相似矩阵的概念,课件,14,的对应于,与,的某个特征值，若,是,5.2.2相似矩阵的性质,性质1,（因为,性质2 若,则,性质3 若,则,性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；,性质5 设,是,是,的特征向量，则,的对应于,的特征向量,课件,15,（3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以 对角化,定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有 个线性无
6、关的特征向量,推论 （ 能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似,注意 （1）推论的逆命题未必成立,（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的 特征向量，从而 不一定能对角化,课件,16,的特征多项式为,例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化,解 （1）,的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以 可以对角化,课件,17,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,令,则,课件,18,的特征多项式为,（2）,因此, 的特征值为1，1，3,对,，解方程,由于,同解方
7、程组为,通解为,一基础解系为,课件,19,对,，解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化,令,则,课件,20,5.3 向量的内积、正交化方法,5.3.1向量的内积,定义3 设有,维向量,令,称其为,与,的内积,向量的内积具有下列性质（其中,都是列向量，,为实数）：,性质1,性质2,性质3,性质4,当,课件,21,5.3.2向量的长度,定义4 设有,维向量,令,称为,维向量,的长度（或范数）,当,=1时，称,为单位向量,向量的长度具有下列性质：,性质1 非负性：当,时,性质2 齐次性：,为实数),性质3 三角不等式：,课件,22,的夹角,当,时
8、，,称为,维向量,与,当,记,称非零向量单位化.,当,时，称向量,与,显然，零向量与任何向量都正交,正交,课件,23,5.3.3正交向量组,定义5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组,设 是正交向量组，则,若,两两正交且都为单位向量，则称,为单位正交向量组记作,课件,24,正交向量组有下列性质：,性质1 若,是正交向量组,则,线性无关.,性质2 设,为标准正交向量组，,的任一向量，若存在数,为同维数,使,则,课件,25,5.3.4正交化方法,找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组 的方法如下：,设,为一线性无关向量组,（1）正交化：,取,依次类推，一般的，有,可以证明,两两正交,且,与
9、,等价,课件,26,（2）规范化：,令,则 为单位正交向量组，且,与,等价,上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程它不仅满足,与,等价,，还满足对任何实数,与,等价,课件,27,例13 已知,求一组非零向量,使,两两正交,解,应该满足,即,其同解方程组为,它的通解为,一基础解系为,课件,28,把基础解系正交化，即为所求取,于是得,即为所求.,课件,29,5.3.5正交矩阵,定义6 如果,阶矩阵,满足,那么称,为正交矩阵，简称正交阵,例如,都是正交矩阵,课件,30,为正交阵，那么,正交矩阵有下列性质：,性质1 若,是可逆阵,且,或;,为正交阵，那么,
10、性质2 若,是正交阵;,为正交阵,性质3,性质4 若,为同阶正交矩阵,则,也是正交矩阵,课件,31,是,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,5.4.1实对称矩阵的性质,性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量；,性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 相互正交；,性质3 设,阶实对称矩阵,是,的,则齐次线性方程组,重特征根,的系数矩阵的秩,从而,的对应于特征值,性无关的特征向量恰有,的线,个.,课件,32,是,定理2 设,阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使,其中,为对角矩阵,且,元素是矩阵,对角线上的,的,个特征值.,5.4.2实对称矩阵的相似对角形,根据上述定理，任何一个实对称矩
11、阵都与对角阵正交相似,课件,33,寻找正交矩阵,使,成为对角阵的步骤如下：,1根据特征方程,求出矩阵,的特征值,的所有不同,及它们的重数,2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系,3利用施密特正交化方法，把向量组,正交单位化得单位正交向量组,从而得到,个两两正交的单位特征向量组:,课件,34,的,个,4令,则,为正交矩阵,且,为对角矩阵，且,对角线上的元素含,恰好是矩阵,个特征值.其中,的主对角元素,的重数为,顺序与,并且排列,排列顺序相对应,中正交向量组的,课件,35,例14 设,求一个正交矩阵,使,为对角矩阵,解 由,得,的特征值为,对应于,解方程,由,课件,36,得同解方程组,通解为,一基础解系为,单位化得,对应于,解方程,由,得同解方程组,通解为,课件,37,一基础解系为,取,单位化,得,令,则有,课件,38,注意 上例中若令,可逆,则,课件,39,例15 设,求,解,为实对称矩阵所以,可以对角化,即存在可逆矩阵,使,为对角矩阵.于是,从而,由,得,的特征值为,于是,对于,由,得,对于,由,得,课件,40,令,再求出,于是,一般地，,为正整数).,
