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1、武昌基地：武昌区武珞路丁字桥南方帝园A座21楼 成才热线：02787130358 任意角的三角函数教学目标：理解并掌握任意角三角函数的定义，理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学重点：任意角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义域.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.教学过程：.课题导入在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知
2、道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.讲授新课对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.设是一个顶点在原点，始边在x轴正半轴上的任意角，的终边上任意一点P的坐标是（x，y）(非顶点).它与原点的距离是r(r0）注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的正半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)角的终边只要不落在坐标轴上，就只能是象限角.(4)角的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在
3、坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.那么，(1)比值 叫做的正弦，记作sin，即sin .(2)比值 叫做的余弦，记作cos，即cos. (3)比值 叫做的正切，记作tan，即tan .以上三种函数统称为三角函数.确定的角，它的终边上任意一点P的坐标都是变量，它与原点的距离r也是变量，这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的？根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即k（kZ)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan无意义，除此之外，对于确定的角，上面的三个比值都是唯
4、一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.注意：(1)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余两个符号也是这样.(2)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(3)比值只与角的大小有关.我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别?正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标.由于角的集合与实数集R之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自
5、变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究.对于正弦函数sin，因为r0，所以 恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tan，因为x0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是k（kZ).为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长如1 cm、1 dm、1m、1 km等等
6、，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角的终边或其反向延长线交于点T.显然，线段OM的长度为x，线段MP的长度为y，它们都只能取非负值.当角的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段。如果x0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x0，OM与x轴正向相反(即反
7、向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OMx.如果y0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MPy，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段（即规定了起点和终点），把它们的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sin yMPcos xOM这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角的正弦线、余弦线.类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tan
8、 AT这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角的正切线.注意：(1)当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.(2)当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.例题分析例1已知角的
9、终边经过点P(2，3)(如图)，求的三个三角函数值.解：x2，y3r于是sin costan 例2求下列各角的三个三角函数值.(1)0 (2) (3) 解：(1)因为当0时，xr，y0，所以sin00 cos01 tan00 (2)因为当时，xr，y0，所以sin0 cos1 tan0 (3)因为当时，x0，yr，所以sin1 cos0 tan不存在 .课堂练习课本P16练习 1、2、3.课时小结任意角三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合
10、)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.课后作业课本P23习题 1、2、3.任意角的三角函数(一)1sin1、cos1、tan1的大小关系是 （ ）A.tan1cos1sin1 B.sin1cos1tan1C.sin1tan1cos1 D.cos1sin1tan12已知角的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段，则的终边在（ ）A.第一象限角平分线上 B.第二象限角平分线上C.第二或第四象限角平分线上 D.第一或第三象限角平分线上3如果，那么下列各式中正确的是 （ ）A.costansin B.sincostanC.tans
11、incos D.cossintan4若点P(3，y)是角终边上一点，且sin，则y的值是_. 5已知角终边上一点P的坐标是（4a，3a)(a0)，则sin_，cos_，tan_. 6如果角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合.终边在函数y3x(x0)的图象上，则sin_，cos_，tan_. 7已知角的终边上一点P的坐标是（x，2)(x0），且cos，求sin和tan的值.8已知角终边上有一点P（x，1)(x0)，且cosx，求sin的值.9已知是第一象限角，试利用三角函数线证明：sin+cos1.任意角的三角函数(一)答案1D 2C 3D 4 5 6 37已知角的终边上一点P的坐标是（x
12、，2)(x0），且cos，求sin和tan的值.分析：r，又cos，即rx3x由于x0，r3 x249 x25，x.当x时，P点的坐标是（，2）.sin ，tan .当x时，P点的坐标是（，2）sin ，tan .答案：当x时，sin，tan当x时，sin，tan8已知角终边上有一点P（x，1)(x0)，且cosx，求sin的值.分析：由任意角的三角函数的定义cosx，r2 sin.另：用x、1表示出r，即r再由cosx，求出x.进一步求得sin也可.9已知是第一象限角，试利用三角函数线证明：sin+cos1.提示：作出单位圆以及正弦线、余弦线，利用三角形两边和大于第三边可证得.第 5 页 共 5 页
