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1、第六章 静态测试数据处理,一个简单的数学问题:,由、,代入：,第五章 测试数据处理,一个实际的例子：电容器的测量（并、串联）,电容最可信赖的值是多少？,求标准米尺的温度膨胀系数：,为确定、，需要进行2组测量！,实际为提高测量精度，往往增加测量组数n，利用抵偿性减小随机误差的影响。根据任意2个方程求得的解代入其它方程不能完全满足。,希望找到一组最佳的解，使 与零相差很小，从方程组整体上看，这组解可以理解为误差最小的解。,这就是最小二乘法的出发点！,第1节 最小二乘法的数据处理,一、最小二乘法的基本原理,测量方程：,xi为待求解的参数, yi为直接测量量，nm,第1节 最小二乘法的数据处理,误差（
2、残差）方程：,参数的最佳估计值应在残差平方和为最小的条件下求出，即 。也就是说，另取任一组其它解，其 都将大于 。,有误差的实际测量值,等精度测量的最小二乘原理：,最小,不等精度测量的最小二乘原理：,最小,最小二乘原理,测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残余误差平方和）最小。,最小二乘原理,第1节 最小二乘法的数据处理,二、最小二乘法的基本运算,1、等精度线性函数运算,误差方程：,m个参数n个方程（nm）,待求解参数,第1节 最小二乘法的数据处理,矩阵形式：,（L、A为测量数据）,待求解参数,第1节 最小二乘法的数据处理,最小二乘法要求：,利用微分求极值：,n个方程转化成m个新的方
3、程，“正规方程组”,解出正规方程组，即得符合最小二乘原理的最佳解,第1节 最小二乘法的数据处理,先看：,由于：,带入上式可得：,第1节 最小二乘法的数据处理,高斯符号，对应列相加,列号,第1节 最小二乘法的数据处理,得正规方程：,对称分布的各系数彼此两两相等,如何求解X？,主对角线分布着平方项系数,第1节 最小二乘法的数据处理,对第r个方程：,即：,第1节 最小二乘法的数据处理,故：正规方程可写成,矩阵形式：,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,按矩阵形式解算，则有,第1节 最小二
4、乘法的数据处理,2、不等精度线性函数运算,原理：,测量值 li 的方差,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,矩阵解：,第1节 最小二乘法的数据处理,如果在不等精度误差方程的两端同乘以,第1节 最小二乘法的数据处理,3、（等精度、不等精度）非线性函数运算,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,最终的近似线性方程组：,再按等精度、不等精度方式处理,第1节 最小二乘法的数据处理,4、最小二乘原理与算数平均值的关系,第1节 最小二乘法的数据处理,正规方程为：,第1节 最小二乘法的数据处理,三、最小二乘法的精度估计,第1节 最小
5、二乘法的数据处理,1、测量数据的精度估计,第1节 最小二乘法的数据处理,2、最小二乘法估计量的精度,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,由于：,第1节 最小二乘法的数据处理,注：若为非等精度，单位权标准差为：,（需要对上式进行化简，使结论更明确）,第1节 最小二乘法的数据处理,由于：,需要将左边矩阵乘积展开：,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,对于,将其系数h展开，并注意到：,适当的合并同类项后得：,第1节 最小二乘法的数据处理,结论：,（等精度测量）,第1节 最小二乘法的数据处理,对于非等精度测量：,结论：,通过
6、直接测量待测参数的组合量（一般是等精度），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计量及精度估计。,四、组合测量中的最小二乘法的应用,第1节 最小二乘法的数据处理,以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D间的距离 。,A,B,C,D,A,B,C,D,第1节 最小二乘法的数据处理,直接测量各组合量，得,首先列出误差方程,由此可得：,第1节 最小二乘法的数据处理,则,第1节 最小二乘法的数据处理,式中，,现求上述估计量的精度估计。将最佳估计值代入 误差方程中，,第1节 最小二乘法的数据处理,那么，,测量数据 的标准差为,第1节 最小二乘法的数据处理,已知：,第1节 最小二乘法的数
7、据处理,第1节 最小二乘法的数据处理,则最小二乘估计量 的标准差为,第1节 最小二乘法的数据处理,思考：,两个电容器，分别测量其电容（串、并联），得如下结果,电容最可信赖的值及精度是多少？,第2节 回归分析,最小二乘法： 如何寻求待测量的最佳估计值及精度（函数关系已知时）。 回归分析： 寻找两个或多个变量之间的内在关系（函数关系未知时）。,第2节 回归分析,一、回归分析的基本概念,变量之间既存在密切的关系，又不能精确求解，要通过试验和调查研究确定它们之间的关系。(数理统计中称为回归分析regression analysis ),可以用明确的函数关系式精确地表示出来。,第2节 回归分析, 测量数
8、据确定经验公式（回归方程） 的形式,回归分析思路, 确定参数参数估计，最小二乘法, 可信度检验对回归方程的可信赖度进 行统计检验, 因素分析确定影响变量的主要因素、 次要因素,一个回归分析的例子,例：确定某段导线的电阻与温度之间的关系：,散点图：,从散点图可以看出： 电阻与温度大致成线性关系。,设测量数据有如下结构形式：,思路：要求电阻y与x的关系，即根据测量数据要求出,和,的估计值。根据测量数据，可以得到 7个测量方程，未知数有两个，而方程个数大于未知数的个数，适合于用最小二乘法求解。,设得到的回归方程,对照最小二乘法的矩阵形式，令,相当于矩阵A,相当于矩阵L,设测得值yt的精度相等，则有,
9、回归方程：,问题：这条回归直线是否符合y与x之间的客观规律？回归直线的预报精度如何？,第2节 回归分析,二、一元线性回归分析,确定两个变量之间的线性关系，工程或科研中常用的“直线拟合”问题。,1、回归方程的求解方法,图解法,平均值法,最小二乘法,第2节 回归分析,a、图解法,测量点均匀分布在“回归直线”两侧，回归参数从图中量取后计算。,第2节 回归分析,第2节 回归分析,b、平均值法,将n对测量数据分成两组，代入回归方程,其中k = n/2 (n为偶数),第2节 回归分析,第2节 回归分析,第2节 回归分析,c、最小二乘法,使各实验点与回归直线的偏差的平方和最小。,误差函数：,第2节 回归分析
10、,假设y为等精度测量，则,（矩阵B为待估计量）,第2节 回归分析,第2节 回归分析,说明回归直线通过点,第2节 回归分析,利用代数法,第2节 回归分析,回归成线性是否合理？显著性检验问题,回归的是否准确？回归精度问题,两个问题：,解决方法：方差分析法,第2节 回归分析,2、回归方程的方差分析（精度分析）,令：,x离差平方和,y离差平方和,x、y离差积之和,第2节 回归分析,y的离差,i,i,第2节 回归分析,(1) 引起观测值y发生差异（变差）的原因： A、自变量x取值的不同； B、其它因素（试验误差）的影响。,(2) 方差分析,总的离差平方和（即N个观测值之间的变差）,第2节 回归分析,由于
11、：,可以证明：,所以：,第2节 回归分析,其中：,第2节 回归分析,U回归平方和，反映总变差中由于x和y的线性关 系而引起 y变化的部分。,Q残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残 余误差，即其它因素对y变差的影响。,第2节 回归分析,回归方程的精度：,残余方差 (Q残余平方和，N-2为自由度),残余标准差：,衡量所有随机因素对y的一次性观测的平均变差的大小，值越小，回归直线精度越高， 可作为回归方程的精度参数。,第2节 回归分析,3、回归方程的显著性检验,从回归平方和U与残差平方和Q的意义可知：检验公式效果的好坏，取决于U与Q的大小，或者说U/Q的大小，U越大或Q越小，经验公式精度越高。,
12、第2节 回归分析,显著性检验方法相关系数、F统计量,(线性关系的显著性检验),第2节 回归分析,第2节 回归分析,例：是否为线性关系？（99%的可能）,第2节 回归分析,高度显著,不显著,在0.1水平显著,在0.05水平显著,(回归方程的显著性检验),第2节 回归分析,（1）重复试验回归直线的求法,设N个试验点，每个试验点重复m次试验，则将这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进行拟合。,（2）方差分析,4、重复试验情况,第2节 回归分析,第2节 回归分析,（3）失拟检验,（一元回归方程拟合的好）,（若误差显著，重做回归方程）,第2节 回归分析,1）重复试验的回归分析对了解测量误差来源和提高
13、测量精度是有益的。 2）方程拟合得好的真正含义应该是失拟平方和相对误差平方和不显著。但如果没有条件做重复试验，只能用回归平方和对残余平方和进行F检验，也大致说明回归效果的好坏，习惯上也称为拟合得好与坏（不严格）。,总结：,第2节 回归分析,三、一元非线性回归分析,3、 求解未知参数。 可化曲线回归为直线回归，用最小二乘法求解； 可化曲线回归为多项式回归。,1、 确定函数类型。,求解思路：,2、 对经验公式进行检验。,第2节 回归分析,1、确定经验公式的类型,(1) 直接判断法。专业知识、实际经验或其他资料,(2) 作图观察法。与典型曲线比较，确定其属于何 种类型。,2、经验公式类型的检验,(1
14、) 直线检验法(只含1-2个未知参量时),(2) 表差法,第2节 回归分析,a、直线检验法,直线检验法适合：,第2节 回归分析,作图发现：（X , Y）各试验点较好地处于一条直线上。,第2节 回归分析,b、表差法（适用于多项式回归）, 用试验数据画图, 确定定差 ，列出xi,yi各对应值, 根据x,y的读出值作出差值 ，看其是否 与确定方程式的标准相符，若一致，则说 明原选定的曲线类型是合适的。,第2节 回归分析,第2节 回归分析,第2节 回归分析,第2节 回归分析,第2节 回归分析,第2节 回归分析,例：观测数据可否表示成,思考：能否用直线检验法？,第2节 回归分析,3、参数求取化曲线为直线
15、回归问题,可用直线检验法或表差法检验的曲线，其回归方程都可以通过变量代换转换为直线回归方程（或多项式形式），然后用一元线性回归方法（或最小二乘法）求解。,思考：如何求解拟合参数？,第2节 回归分析,讨论：回归曲线的效果与精度,相关系数：,注意：2越接近1，则表示所配曲线的效果越好。,标准差：,作为根据回归方程预报值的精度指标。,四、多元线性（非线性）回归分析,第2节 回归分析,（可利用最小二乘法求解）,非线性回归通过变量替换可转化成上述线性方程。,显著性检验：,第2节 回归分析,若：,，则回归方程显著,精度残余标准差：,（M自变量个数）,本章小节,1 非线性函数的最小二乘法的处理思路？ 2 最小二乘法处理的精度估计 什么量的精度？ 找出被估计量与什么量的关系？ 精度估计公式？ 3 回归分析的主要内容？ 4 一元线性回归的三种基本方法 与最小二乘法的关系？ 一元线性回归结果分析？ 显著性检验的目的和内容？ 失拟检验的目的和内容？ 5 一元非线性回归的基本方法？,练习,
