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1、小学奥数总复习教程 （下）,小升初数学学习备战辅导,方程的妙用 用方程解决应用题,知识点梳理,1、列方程解应用题的方法 （1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。 （2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。,2、列方程解应用题的步骤： （1）分析题意，弄清已知条件和所求问题； （2）根据分析设定未知数； （3）利用等量
2、关系列出方程； （4）求解方程； （5）将结果代回原题检验，答。,典型例题精讲,（ 生活中问题） 例1. 有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。,解析,解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。 56-2X=3(36-2X) X=13 答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。,趣味数学 例2. 同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？,解 答,解:设
3、这名同学给X个同学领碗. X=30 答：这名同学给30个同学领碗。,鸡兔同笼问题 例3. 鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？,解 析,方法一： 鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，就求出鸡的只数了。 解： （110+104）（4+2）=25（只）鸡 25-10=15（只） 兔 答：鸡有25只，兔有15只。,解答,方法二：用方程做 解设：有X只兔，有鸡（X+10）只。 4X+ 2(X+10)=110 6X=90 X=15 15+10=25(只) 答：鸡有25只
4、，兔有15只。,行程问题 例4.甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时相遇，甲车再开3小时到达B城。已知甲车每小时比乙车每小时快20千米。A、B两地相距多少千米？,解析,解设：乙的速度每小时行驶X千米，甲的速度是（X+20)千米。 4 X= 3（X+20) （60+20）（4+3）=560千米 X=60 答：AB两地相距560千米。,工程问题 例5.一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天，如果两人合做，他们的工作效率就要降低，甲只能完成原来的五分之四，乙只能完成原来的十分之九。现在要求8天完成这项工程，两人合做的天数尽可能少，那么两人要合做多少天？,解析,甲的工作效率=110= ，合
5、做后的工效= 乙的工作效率=115= ，合做后的工效= 效率和= 解设：合做X天，甲单独做（8-X）天。 答：两个人合做要用5天。,例6. 设有六位数1abcde,乘3后，变为abcde1,求这个六位数。,数论问题,解 答,解设：abcde五位数为X。 3（100000+X）=10X+1 X=42857 答：这个六位数是142857。,平面几何 例7.如右图，以直角三角形ABC的两条直角边为直径作两个半圆，已知这两段半圆弧的长度之和是37.68厘米，那么三角形ABC的面积最大是多少平方厘米？（取3.14）,解答,解设：直角边长为X和Y,则弧长为： X2+Y2=37.68 （X+Y）2=37.6
6、8 X+Y=24（厘米）当X=Y时乘积最大 即X=Y=12（厘米） 三角形面积=12122=72（平方厘米） 答：三角形面积是72平方厘米。,巧求面积 引辅助线法,典型例题精讲,例1.如图所示，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，求图中阴影部分的面积。,解析,连辅助线BD, SOBD和SOBC是等底等高的三角形，面积相等，是平行四边形面积的一半。 S阴4022=10（平方厘米）,例2.如图，正方形ABCD和正方形EFGC并排放置，BF和EC交于H点，已知AB=4厘米，EF=6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？,解析,连接DF,三角形DGH的面积等于三角形DFH的面积， 原来阴影部分的面
7、积等于三角形BDF的面积。 S大正=66=36（平方厘米）S小正=44=16 36+16=52 （平方厘米）SABD=162=8（平方厘米） SEFD=（ 6-4）62=6（平方厘米） SBFG=（4+6）62=30（平方厘米） S阴=52-8-6-30=8（平方厘米）,例3. 如图，四边形ABCD是长方形，EC=2DE，F是DG的中点，G是BC中点，阴影部分的面积是20平方厘米，则长方形ABCD的面积是_。,解析,连接CF , F是中点， SCFG=SCFD, SBDF=SBFG, G是BC中点， SCFG=SBFG=SCFD=SBDF, DE:EC=1：2，SDEF:SCFE=1：2， S
8、CFG:SEFC=3:2, SCFG=2053=12（平方厘米） S长=1242=96（平方厘米）,例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？,解析,连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO 设ECO面积为x，DCO面积为y 由条件知，EO：OB1：2， AO：OD2：3 则（AEO+ECO）:DCO2 :3 ECO：（DCO+BOD）1:2 即： x：(y+3)=1：2 (x+1)：y=2：3 解得：x=9, y=15 所以DCEOx+y24,例5. 已知E为边长AD的中点,正方形的边长为8厘米，P是C
9、E的中点，求阴影部分的面积。,解析,连结BE,三角形BCE的面积=正方形面积的一半=882=32（平方厘米） SBPC的=SBCE2=16（平方厘米） SCDE=842=16（平方厘米） SPDC 的面积=SCDE2=8（平方厘米） S阴=S正2-16-8=8（平方厘米）,例6.如图ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。（单位：分米）,解析,我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正 方形ABCE。 S半圆=553.142=39.25（平方厘米） S正=1010=100（平方厘米） SADE=10152=75（平方厘米） S阴=（39.25+100-75）
10、2=32.125（平方厘米）,例7. 如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘米，BE=2AE，CF=2BF，则四边形ACFE的面积是多少平方厘米？,解析,SABC=542=27 连接CE。因为AE:EB=1：2，所以：SACE:SBCE=1：2， SACE=273=9(平方厘米),SBCE=27-9=18(平方厘米) 因为BF:FC=1：2，所以SBEF:SCEF=1：2， SCEF=1832=12(平方厘米) SACFE=9+12=21(平方厘米),课后作业,如图，正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的顶点G在BC边 上，则长方形的面积为多少平方厘米？,巧求面积 割补法,典型例题
11、精讲,例1. 下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。,解析,同学们请看图，我们将图形进行割补。 把阴影部分割补成四个半圆形和一个正方形， 求出阴影部分面积就可以了。 2S圆=553.142=157（平方厘米） S正=（52）（52）=100（平方厘米） S阴=157+100=257（平方厘米）,例2.求图中阴影部分的面积,解 析,在图中分割的两个正方形中，右边正方形的 阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左 边正方形中空白部分是半径为5的四分之一 个圆。 如右图所示，将右边的阴影部分平移到左边 正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正 好等于一个正方形的面积，55=25。,例3.求图中
12、阴影部分的面积,解析,如图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 解： 444-442=4.56。,例4. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。,解 析,从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角 形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。 显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以 原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。 还可以拼成一个平行四边形或将其分
13、成9个三 角形。,例5. 如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。,解析,因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形，图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（99-55）4=14（平方厘米）。,例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。,解析,我们用割补法，将阴影部分割补成一个半圆形，求出阴影部分面积就可以了。 S半圆=1010
14、3.142=157平方分米,例7.如图所示，空白部分占正方形面积的几分之几？,解 析,将阴影割补成一个长方形，正好占正方形面积的一半。,例8.求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。,解析,看图，我们用割补法，阴影部分的面积 等于扇形的面积减去空白三角形的面积。 S扇=443.144=12.56（平方厘米） S=4422=4（平方厘米） S阴=12.56-4=8.56（平方厘米）,例9.如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？,解析,我们用割补法。看图，阴影部分的面积就是扇形 的面积减去正方形的面积。 S扇=883.144=50.24（平方厘米） S正=882=32（平方厘米）
15、50.24-32=18.24（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18.24平方厘米。,课后作业,以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。,巧求面积 放大法,典型例题精讲,例1. 图中两块阴影部分的面积相等，三角形ABC是直角三角形，BC是直径，长20厘米，计算AB的长度。,解 析,解：三角形ABC的面积与半圆形的面积相等 半径=202=10厘米 10 103.14 2 =3142 =157（平方厘米） 所以AB的长为： 157220=15.7（厘米） 答：AB的长是15.7厘米,例2.如图所示，平行四边形ABCD的边长BC为10厘米，直角三角形BCE的直角边EC为8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。,解析：,因为CF是平行四边形的高，要想求出CF的长，我们只要求出平行四边形的面积就可以了。根据已知条件，我们可以求出三角形的面积。三角形的面积加10就是平行四边形的面积。 解：S平=10 8 2+10=50（平方厘米） CF=50 10=5（厘米） 答：CF长5厘米。,例3.如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。,解析,我们将图甲和图乙放大，同样加上一个空白，
