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1、2019/3/1,数学与计算科学学院,从“群”谈起,辛 林,2019/3/1,数学与计算科学学院,一 、“群”的起源 1、法国数学家，近代代数学的创始人-伽罗瓦 (E. Galois，1811-1832),方程的根式求解 一元一次方程: 一元二次方程： 一元三次方程：,2019/3/1,数学与计算科学学院,一元三次方程经过适当的变量替换后化为如下方程：,三个根是:(意大利数学家卡尔达诺大术1545年),其中 是3次单位根，,2019/3/1,数学与计算科学学院,一元四次方程：,移项：,两边加上： 得：,令右边的判别式为零，求得 y 的一个三次方程，求其根，代入上式，求得根 x . (卡尔达诺学
2、生-费拉里发现，记载于大术中),2019/3/1,数学与计算科学学院,一般一元n次方程是否有类似的根式解？,高斯(Gauss C.F. 德国数学家，1777-1855)于1799年哥丁根大学完成的博士论文证明了代数基本定理： 每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根,法国数学家：拉格朗日(1736-1813)(预解式)， 德国数学家：高斯(分圆方程 ),挪威数学家：阿贝尔(1802-1829),2019/3/1,数学与计算科学学院,伽罗瓦的最主要功绩： 首先提出根的置换概念，每一个方程都可以与一个置换群联系，从而用群论方法彻底解决的方程根式解问题，更重要的是，群论的引入，为现代代数学的
3、发展奠定了基础。,方程与群的联系：给定多项式 f(x),伽罗瓦群 ,其元素是 的所有置换。,称为 f 的分裂域，,2019/3/1,数学与计算科学学院,2、抽象群： 来源较多，难以准确说明，有克莱因抽象群说，也有凯莱抽象群说等。,2019/3/1,数学与计算科学学院,二、群的其它应用 1、化学分子对称群（分子对称群仅有32种）,研究分子的对称性加深人们对物质性质的认识,氨分子：,(1个氮原子N和3个氢原子H),2019/3/1,数学与计算科学学院,试比较分子结构图与正四面体图的对称变换区别：,1)、A为不动点,2)、a,b,c在一个平面上为正三角形，作它们的对称变换,3)、习惯上记氨的分子对称
4、群记为 ，由6个元素组成。,2019/3/1,数学与计算科学学院,水分子对称群：水分子,水分子对称群习惯记为 ,由4个元素组成：,1)、恒等变换,2)、过O的轴的旋转180,o,3)、分子所在平面HOH的反射,4)、过O且垂直于H联线的平面的反射。,2019/3/1,数学与计算科学学院,2、晶体分类,各种晶体中原子排列模型表明，这是一个有一定规则的多面体，可以利用空间格点加以表述。,例: 氯化纳(NaCl)晶体原子排列模型：,白：钠原子 氯：氯原子,2019/3/1,数学与计算科学学院,19世纪后半叶，科学家发现： 1、晶体外形的全部对称形式，称为对称点群，共32种。 2、晶体内部构造一切可能
5、的对称形式，称为空间群，230种。,晶体分类的数学理论是由俄国数学家E.C.费多罗夫应用群的结构理论于1891年创立。1912年德国物理学家冯.劳厄利用X射线的衍射实验证实了晶体对称群的存在性，为此，他获得1914年度的诺贝尔物理奖。,随后英国科学家布拉格父子利用劳厄方法和空间群的计算，给出了晶体中原子的固有排列形状，为此获得1915年诺贝尔物理学奖。,2019/3/1,数学与计算科学学院,3、科学计算的重要方法,例 设有一块正六边形的瓷砖，在六个顶点上分别染成三个白色和三个黑色，问有几种瓷砖图案？,图示如下：,计算结果：4种,2019/3/1,数学与计算科学学院,它们是：,2019/3/1,
6、数学与计算科学学院,如何计算？,Burnside定理：设有限群G作用于有限集合M上，对G中每一个元素g，记g的不动元的集合为Fg, 则M在G作用下的轨道数是,2019/3/1,数学与计算科学学院,4、编码理论,编码在数字通讯、计算机和数据处理等科学技术中有广泛应用。,信源,2019/3/1,数学与计算科学学院,将信源的信息转化为数字信息传送给收信者称为数字通信.,工程上最易实现的是二元数字信息的传送，二元数字信息就是有限长的二元n元数组(c1,cn ),其中每一个ciZ2.,二元n元数组可以表达2n种不同的符号，因此英文字母、数字及有关号码可用适当的二元n元数组表示之。,为解决数字传输过程中可
7、能出现的干扰，除采用各种技术处理外，常采用抗干扰编码的方法。,2019/3/1,数学与计算科学学院,设Z2n是信息源的原始数字信息集合。取自然数mn, 作单射E: Z2n Z2m. ImE称为码，ImE中元素称为码字，m 称为码长，码字的分量称为码元。,显然 Z2m 是域Z2上的向量空间，如果ImE是Z2m的子空间, 称ImE是二元线性码，由于(Z2m,+)的子群与子空间一致，因此二元线性码也称为群码。特别地，当对某些特殊的编码函数E : Z2n Z2m,可以使E成为群同态。比如，E : Z2n Z2m使E(X)=XG, 其中G是一个nm矩阵。,数字通信 群的问题,2019/3/1,数学与计算
8、科学学院,三、高中数学新课程“对称与群”选修课杂谈,1、起点：初中毕业,2、开课学期：高中阶段的任意一个学期,3、共计18学时,4、教学目的： (1) 学会用数学思想观察世界，落实到这一专题，应使学生了解群是研究和观察对称现象的一种数学方法。并能够应用群的方法对平面上基本图形的对称性进行观察。,2019/3/1,数学与计算科学学院,(2) 掌握轴对称，中心对称的变换形式以及正确的表达方法(反射与旋转),(3) 掌握置换群的运算，特别是为什么这些运算有别于数的运算。,(4) 了解一些数学史，特别是近代代数学是如何发展起来的。,2019/3/1,数学与计算科学学院,5、难点： 置换表达 (2) 置
9、换运算(合成),2019/3/1,数学与计算科学学院,(1) 观察各种对称现象，引导对称性的正确表述，如轴对称，中心对称等。利用距离进行一些必要的计算以加深对称的理解。,6、 18学时安排参考：,(2) 熟悉平面基本图形：等边三角形，正方形，正五边形等的对称轴，对称中心。并学会如何用符号标记它们，特别是对称轴过顶点时，应如何标记才是正确。如：,a,b,对称轴l用ab表示有什么问题？,2019/3/1,数学与计算科学学院,(3) 平面刚体运动，利用平面刚体运动重新认识轴对称与中心对称。,(4) 平面刚体运动的基本性质：直线变直线，线段变线段，射线变射线。如何理解平面刚体运动将平面上任意正n边形仍
10、然变为形状和大小保持不变的正n边形。,(5) 有不动点的平面刚体运动-仅一点不动的为旋转，仅一直线不动的为反射。,(6) 平面图形K的对称变换，找出等边三角形，正方形，正五边形等基本图形的对称变换。,2019/3/1,数学与计算科学学院,(7) 对称变换的运算-合成,(8) 进一步熟悉变换合成：变换表示，恒等变换，逆变换。,(9) 合成的结合律，但一般情况下，没有交换律，用集合形式表达图形K上的所有对称变换，并引入乘法表。,(10) 写出平面上常见图形的对称群，以及乘法表。写出某些化学分子对称群。,(11) n个文字上的一一对应表达方式，结合前面平面图形进行教学。,2019/3/1,数学与计算科学学院,(12) 置换合成运算，写出用置换表达的平面图形K上对称群的乘法表。,(13) n个文字对称群 与平面图形对称群的关系。,(14) 多元多项式的表达，变元置换方法。,(15) 对称多项式的表达、性质。如何找多元多项式的对称变换。,(16) 抽象群的介绍。,(17) 讲故事-近代代数学的起源。,(18) 安排一次研究性学习，并进行学习总结报告。,2019/3/1,数学与计算科学学院,谢谢大家！,
