《高中数学竞赛专题讲座之函数的基本性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛专题讲座之函数的基本性质（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等 )问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄高中数学竞赛辅导 、刘诗雄、罗增儒高中数学竞赛解题指导.例题：已知 f(x)8 2x x2，如果 g(x)f(2x2)，那么 g(x)( )A.在区间 (2， 0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增C.在(1 ，0)上单调递增 D.在(0 ，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值
2、较好一些.选 C设 f(x)是 R 上的奇函数，且 f(x3)f(x)，当 0x时，f(x)x，则 f(2003)( )A.1 B.0 C.1 D.2003解：f(x6)f(x33) f(x3)f(x) f(x)的周期为 6f(2003)f(63351) f(1)f1选 A定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有 f(x1)f(2 x)成立，若 f(x)0 仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )A.150 B. C.152 D.提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余 100 个根可分为 50
3、对，每一对的两根关于 x对称利用中点坐标公式，这 100 个根的和等于100150所有 101 个根的和为101 .选 B实数 x，y 满足 x22xsin(xy) 1，则 x19986sin5y_.解：如果 x、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(x sin(xy)2cos2(xy)0 xsin(xy) 且 cos(xy)0 xsin(xy)1 siny1 xsin(xy)1原式7已知 x是方程 x4bx2c 0 的根，b，c 为整数，则 bc_.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得 x x22x1999即 x2802x
4、再平方得 x4160x26400 76x2即 x4236x2 64000 b236，c 6400bc6164已知 f(x)ax2 bxc(a0)，f(x)0 有实数根，且 f(x) 1 在(0 ，1)内有两个实数根，求证：a 4.证法一：由已知条件可得b24ac0 f abc1 f(0)c1 01 b24acb1 acc1b0( a0)于是b2所以 ac 1b2 ()21 1于是12 a4证法二：设 f(x)的两个根为 x1，x2，则 f(x) a(xx1)(xx2)f a(1x1)(1x2)1f(0) ax1x21由基本不等式x1(1x1)x2(1x2)(x1 (1x1) x2(1x2)4
5、()2 a2x1(1x1)x2(1x2)1 a216 a4已知 f(x)x2ax b(1x1)，若|f(x)|的最大值为 M，求证：M .解：M |f(x)|maxmax|f| ，|f(1)|，|f( )|若|1 (对称轴不在定义域内部)则 M max|f |，|f( 1)|而 f 1abf(1)1ab|f|f(1)|ff(1)|2|a| 4则|f|和|f(1)|中至少有一个不小于 2 M 2| 1M max|f| ，|f( 1)|，|f( )|max|1ab|，|1a b|，| b|max|1ab|，|1a b|，| b|，|b|(|1ab|1ab| |b|b|)(1a b)(1ab) (b
6、)(b)综上所述，原命题正确.解方程:(x8)2001x20012x 80解方程：解：原方程化为(x8)2001(x8)x2001 x0即(x8)2001(x 8) (x)2001( x)构造函数 f(x) x2001x原方程等价于 f(x8) f(x)而由函数的单调性可知 f(x)是 R 上的单调递增函数于是有 x8 xx4 为原方程的解两边取以 2 为底的对数得于是 f(2x)f(x2 1)易证：f(x)世纪函数，且是 R 上的增函数，所以：2xx21解得：x1设 f(x) x4ax3bx2cxd ，f1 ，f 2 ，f 3 ，求ff(0) 的值.解：由已知，方程 f(x)x 已知有三个解
7、，设第四个解为 m，记 F(x) f(x)x(x1)(x2)(x3)(xm) f(x)(x1)(x2)(x3)(xm) xf6(4m) 4f(0) 6m ff(0) 7设 f(x) x44x3x25x 2，当 xR 时，求证：|f(x)|证明：配方得：f(x) x2(x2)2 (x1)2x2(x 2)2(x 1)2 1(x22x)2(x 1)2 1(x1)212(x1)21 (x1)42(x1)21 (x1)21(x1)4(x1)2练习：已知 f(x)ax5 bsin5x 1，且 f5 ，则 f(1)( )A.3 B.3 C.5 D.5解： fa bsin5115设 f(1)a bsin5(
8、1)1k相加：ff( 1)25k f(1) k253选 B已知(3xy)2001x20014xy 0，求 4xy 的值.解：构造函数 f(x)x2001x，则 f(3xy)f(x)0逐一到 f(x)的奇函数且为 R 上的增函数，所以 3xy x4xy0解方程：ln(x)ln( 2x)3x0解：构造函数 f(x)ln(x) x则由已知得：f(x)f(2x) 0不难知，f(x)为奇函数，且在 R 上是增函数(证明略)所以 f(x)f(2x)f(2x)由函数的单调性，得 x2x所以原方程的解为 x0若函数 ylog3(x2ax a)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_.解：函数值域为 R，表示函
9、数值能取遍所有实数，则其真数函数 g(x)x2 axa 的函数值应该能够取遍所有正数所以函数 yg(x)的图象应该与 x 轴相交即0 a24a 0a 4 或 a0解法二：将原函数变形为 x2axa3y0a2 4a43y0 对一切 yR 恒成立则必须 a24a0 成立 a4 或 a0函数 y的最小值是_.提示：利用两点间距离公式处理y表示动点 P(x，0) 到两定点 A(2 ，1)和 B(2，2)的距离之和当且仅当 P、A、B 三点共线时取的最小值，为 |AB|5已知 f(x)ax2 bxc，f(x) x 的两根为 x1，x2，a0，x1x2 ，若 0tx1，试比较f(t)与 x1 的大小.解法
10、一：设 F(x)f(x)xax2 (b1)xc，a(xx1)(xx2) f(x)a(x x1)(xx2)x作差：f(t)x1a(tx1)(tx2)tx1(t x1)a(t x2)1a(t x1)(t x2)又 tx2t(x2x1)x1tx10 f(t) x10 f(t) x1解法二：同解法一得 f(x)a(xx1)(xx2)x令 g(x)a(x x2) a0 ，g(x)是增函数，且 tx1( g(t) g(x1) a(x1x2) 1另一方面：f(t)g(t)(tx1)t a(tx2) g(t)1 f(t) tx1t f(t) x1f(x)， g(x)都是定义在 R 上的函数，当 0x 1，0
11、y1 时.求证：存在实数 x，y ，使得|xyf(x)g(y)|证明：(正面下手不容易，可用反证法 )若对任意的实数 x，y ，都有|xyf(x)g(y)|记|S(x，y)|xyf(x)g(y)|则|S(0，0)|， |S(0，1)| ， |S(1，0)|，|S(1，1)| 而 S(0，0) f(0) g(0)S(0，1) f(0) g(1)S(1，0) f(1) g(0)S(1，1) 1 f(1)g(1) |S(0，0)|S(0，1)|S(1 ，0)| |S(1 ，1)|S(0，0)S(0，1) S(1 ，0)S(1，1)|1矛盾！故原命题得证！设 a，b，cR，|x| 1，f(x)ax2b
12、xc，如果|f(x)|1，求证：|2axb|4.解：(本题为 1914 年匈牙利竞赛试题 )fa bcf(1) abcf(0) c aff(1)2f(0)bff(1)cf(0)|2axb|f f(1)2f(0)xf f(1)|(x)f(x )f(1)2xf(0)|x|f | |x |f(1)|2|x|f(0)|x|x|2|x|接下来按 x 分别在区间 1，(，0)，0 ，) ，1讨论即可已知函数 f(x) x3x c 定义在 0，1上，x1 ，x20，1且 x1x2.求证：|f(x1)f(x2)|2|x1x2|；求证：|f(x1)f(x2)|1.证明：|f(x1)f(x2)|x13x1x23x
13、2|x1 x2|x12x1x2x221|需证明|x12x1x2x221|2 x12x1x2x22(x10 1x12x1x2x22111 11 2 式成立于是原不等式成立不妨设 x2x1由 |f(x1)f(x2)|2|x1x2|若 x2x1(0 ，则立即有|f(x1)f(x2)|1 成立.若 1x2 x1 ，则1 (x2x1) 01 (x2 x1) (右边变为正数)下面我们证明|f(x1)f(x2)|2(1x2x1)注意到：f(0)ff(1)c|f(x1)f(x2)| |f(x1)f f(0)f(x2)|f(x1)f|f(0)f(x2)|2(1 x2) 2(x20) (由)2(1 x2 x1)1综合，原命题得证.已知 f(x)ax2 x a(1x 1)若|a|1，求证： |f(x)|若 f(x)max，求 a 的值.解：分析：首先设法去掉字母 a，于是将 a 集中
