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1、第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2016 年 9 月 17 日说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。一、 （20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为 R1、R 2，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O 为直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为 Y 轴。一束在真空中波长为 的可见光沿 Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平
2、面的投影。R 1 和 R2 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为 n01.00。试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的投影的曲线方程。已知：a在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为 的相位突变。b，当 |x|1）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为 r1，外表面均匀涂有厚度为 t（t1）逸出；第 i 倍增级上逸出的电子有大部分（百分比 ）被第 i+1 倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被阳极收集，实现信
3、号放大。已知电子电荷量绝对值为e。(1)求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知 1，n1；(2)为使尽可能多的电子从第i倍增级直接到达第i +1倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中，会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为a且相邻倍增级间的几何位置如图b所示，倍增级间电势差引起的电场很小可忽略。所施加的匀强磁场应取什么方向以及磁感应强度大小为多少时，才能使从第i倍增级垂直出射的能量为Ee的电子中直接打到第 i+1倍增级的电子最多？磁感应强度大小为多少时，可以保证在第i+1倍增级上至少收集到一些从第i倍增级垂直出射的能量为Ee的电子？七、 （20 分）两根质量均匀分
4、布的杆 AB 和 BC，质量均为 m，长均为 l，A 端被光滑铰接到一固定点（即 AB 杆可在竖直平面内绕 A 点无摩擦转动） 。开始时 C 点有外力保持两杆静止，A、C 在同一水平线 AD 上，A 、B 、C 三点都在同一竖直平面内，ABC60 。某时刻撤去外力后两杆始终在竖直平面内运动。（1）若两杆在 B 点固结在一起，求（i）初始时两杆的角加速度；（ii）当 AB 杆运动到与水平线 AD 的夹角为 时，AB 杆绕 A 点转动的角速度。（2）若两杆在 B 点光滑铰接在一起（即 BC杆可在竖直平面内绕 B 点无摩擦转动） ，求初始时两杆的角加速度以及两杆间的相互作用力。八、 （20 分）质子
5、是由更小的所谓“部分子”构成的。欧洲大型强子对撞机（LHC）是高能质子-质子对撞机，质子束内单个质子能量为 E7.0TeV（1TeV10 3GeV10 12eV） ，两束能量相同的质子相向而行对撞碎裂，其中相撞的两个部分子 a、b 相互作用湮灭产生一个新粒子。设部分子 a、b 的动能在质子能量中所占的比值分别为 xa、x b，且远大于其静能。（1）假设两个部分子 a、b 对撞湮灭产生了一个静质量为 ms1.0TeV/ c2 的新粒子 S，求 xa和 xb 的乘积 x axb；（2）假设新粒子 S 产生后衰变到两个光子，在新粒子 S 静止的参考系中，求两光子的频率；（3）假设新粒子 S 产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为 mA1.0GeV/c 2 的轻粒子A，每个轻粒子 A 再衰变到两个同频率的光子，求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角。已知：sin ，当 1；普朗克常量 h6.6310 -34Js，电子电荷量绝对值 e1.6010 -19C。
