《2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版) (1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版) (1)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 1 页，共 7 页2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分1设实数 满足 ，则 的取值范围是 a|193a答案： )0,2(解：
2、由 可得 ，原不等式可变形为|a1|193即 ，所以 又 ，故 2a)34,90(2a0a)310,2(2设复数 满足 ， ，其中 是虚数单位， 分别表示wz,|iwz7iwz,的共轭复数，则 的模为 , )2(z答案： 65解：由运算性质， ，因为 与)(|)(472zwzwzi 2|z为实数， ，故 ， ，又 ，所以2|w0)Re(w7|2 i43|，从而| iizwzz 819)(2|4|)2(2 因此， 的模为 w653正实数 均不等于 1，若 ， ，则vu, 5loglvvu 3loglvuwv的值为 wlog2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 2 页，共 7 页答案： 54解：
3、令 ， ，则avulogbwvl， ，v11 abwvuuu logllogl条件化为 ， ，由此可得 ，因此5b3ba45ab4logllogvuw4袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案： 359解：一种取法符合要求，等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值 小于从 B 中取走的两张a纸币的总面值 ，从而 故只能从 A 中国取走两张 1 元纸币，相应的取b105a法数为 又此时 ，即从 B 中取走的两张纸币
4、不能都是 1 元纸币，相应有23C2种取法因此，所求的概率为 18237 359210483275C5设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满足 =90，M 为 APABC的中点若 AB=1，AC =2， ，则二面角 MBCA 的大小为 2AP答案： 32arctn解：由 =90知，AC 为底面圆的直径设底面中心为 O，则平面 ABC，易知 ，进而PO12CO12A设 H 为 M 在底面上的射影，则 H 为 AO 的中点在底面中作于点 K，则由三垂线定理知 ，从而 为二面角 MBCA 的BCBMKKH平面角因 ，结合 与 平行知， ，即 ，这样21A43AC故二面角 MBC
5、A 的大小为 3tanH2arctn6设函数 ，其中 是一个正整数若对任意实数 ，均有10cossin)(44kxxf a，则 的最小值为 |)(|)(Rfaf 答案：162016 年全国高中数学联合竞赛一试第 3 页，共 7 页解：由条件知， 10cosin2)10cos(sin) 222 kxkxxf 4351其中当且仅当 时， 取到最大值根据条件知，任意一个长为 1 的)(5Zmkx)(xf开区间 至少包含一个最大值点，从而 ，即 ),(a1k5反之，当 时，任意一个开区间均包含 的一个完整周期，此时5)(xf成立综上可知，正整数的最小值|)(1|)(Rxfxf 为 67双曲线 C 的方
6、程为 ，左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线132yx1F22C 的右半支交于点 P，Q，使得 =90，则 的内切圆半径是 F1PQ1答案： 17解：由双曲线的性质知， 4321F2121FPF因 =90，故 ，因此PQ274)()( 2212121 从而直角 的内切圆半径是F1 1)(2)(2)(2 2111 QFPFQPr8设 是 1，2 ，100 中的 4 个互不相同的数，满足431,a24321432 )()( aaa则这样的有序数组 的个数为 ,21答案：40解：由柯西不等式知， ，等号成立243212432321 )()( aaaa的充分必要条件是 ，即 成等比数列于是问题
7、等价于计算满足43214321,2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 4 页，共 7 页 的等比数列 的个数设等比数列的公比1,23,4321a,04321,a，且 为有理数记 ，其中 为互素的正整数，且 qmnq, nm先考虑 的情况n此时 ，注意到 互素，故 为正整数 相应地，3114)(aa3,31al分别等于 ，它们均为正整数这表明，对任意给定的4321, lnl32,，满足条件并以 为公比的等比数列 的个数，即为满足不等式mnqq4321,a的正整数 的个数，即 03ll103n由于 ，故仅需考虑 这些情况，相应的等比数列的个数为154,2201164278 当 时，由对称性可知，
8、亦有 20 个满足条件的等比数列 mn 43,a综上可知，共有 40 个满足条件的有序数组 ),(4321a二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9 （本题满分 16 分）在 中，已知 求 的ABCCBABAC3sin最大值解：由数量积的定义及余弦定理知， 2cosacb同理得， ， 故已知条件化为2bcaBCA 2aCBA)(3)( 2222 ccb即 8 分3a由余弦定理及基本不等式，得 ababcC2)(312cos 263632016 年全国高中数学联合竞赛一试第 5 页，共 7 页所以 12 分37cos1sin2C等号成立当且仅当 因此
9、的最大值是 16 分5:6:baCsin3710 （本题满分 20 分）已知 是 R 上的奇函数， ，且对任意 ，均有)(xf 1)(f 0x)(1(xff求 的值)981(3)91(20) ff )51(0f解：设 =1，2，3，） ，则 nfan)(1fa在 中取 ，注意到 ，及 为)(1(xff*)(Nk11kx)(xf奇函数可知5 分)1()()( kffkf即 ，从而 10 分ak1)!1(11nkaannkn因此 490501501 )!()!()!iii i20 分!921!9!9!8409490 i iiii CC11 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 中，F
10、是 轴正半轴上的一个动xOyx点以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是 轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且PQ=2.圆 均与21,直线 OP 相切于点 P，且均与轴相切求点 F 的坐标，使圆 与 的面积之和取到最小值12解：设抛物线 C 的方程是 ，点 Q 的坐)0(2pxy标为 ，并设 的圆心分别为)0(,a1,2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 6 页，共 7 页),(),(21yxO设直线 PQ 的方程为 ，将其与 C 的方程联立，消去 可知)0(max02pmy因为 PQ 与 C 相切于点 P，所以上述方程的判别式为 ，解得0
11、242pam进而可知，点 P 的坐标为 于是pa ),(),(payxP)2(21|0|1|2 paymPQP 由PQ=2 可得 542pa分注意到 OP 与圆 相切于点 P，所以 设21,C21O圆 与 轴分别相切于点 M，N，则 分别21,x,是 的平分线，故 =90从而PO21由射影定理知 payxOPy P22221212 结合，就有 10 分34apay由 共线，可得21,OP211212 yNOMPypay 化简得15 分2121y令 ，则圆 的面积之和为 根据题意，仅需考虑 T 取到最小值的情21T21,CT况根据、可知， 212121214)( ypayy2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 7 页，共 7 页2222 1)(34()()34( aaa作代换 ，由于 ，所以 于是1t 02pt t433413)(3 tttT上式等号成立当且仅当 ，此时 ，因此结合得，t 1ta3131122 ttap从而 F 的坐标为 20 分)0,()0,2p
