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1、 毕业 (设计 )论文 题 目 抽象不等式的证明 学生姓名 张佳晨 专业班级 R 数学 09-1 班 所在院系 理 学 院 指导教师 王国灿 职 称 教授 所在单位 理 学 院 教研室主任 周大勇 完成日期 2014 年 6 月 10 日 摘 要 复积分是复变函数论重要的组成部分，而复变函数论在十九世纪全面发展，是最丰饶 的数学分支。复积分是研究复变函数的重要工具，许多重要性质都要用复积分表述和证明。但对于复积分的求解方法没有过系统详细的分析和归纳，因此，对复积分的求法的研究有很重要的意义。 本文先阐述复积分的相关概念，在此基础上论述了对复变函数积分的常规计算方法，参数方程法，牛顿 莱布尼兹公
2、式，柯西积分定理，柯西积分公式，拉普拉斯变换法，留数定理等方法。针对没一种方法，给出相应的例子。对复积分的求法做出较系统的归纳总结，使一些复杂的复积分计算变得简单快捷。 关键字 ： 复积分 复变函数 柯西积分定理 拉普拉斯变换法 留数定理 ABSTRACT Complex integration is an important part of the theory of functions of a complex variable, and the theory of functions of a complex variable and comprehensive development
3、in nineteenth Century, is a branch of mathematics is the most fertile. Complex integration is an important tool to study the function of complex variable, many important properties have to be used in complex integral formulation and proof. But for the solution of the complex integral no inductive an
4、alysis, detailed system and therefore, has very important significance on the research method of solving the complex integral. This paper first describes the concepts of complex integral, in this paper based on the conventional method to calculate the integral of complex variable function,parameter
5、equation method, Newton - Leibniz formula, Cauchy integral theorem,Cauchy integral formula, Laplace transform, residue theorem method etc. For no one method, the corresponding example. To summarize systematically summarized the method to find the complex integral, the complex integral calculation is
6、 simple and fast. Key Words： Complex integration of complex function integral theorem of Cauchy Laplace transform residue theorem 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 目 录 一 复积分的定义及性质 . 1 （一）光滑曲线 . 1 （二）复积分的定义 . 1 （三）复积分的性质 . 1 二 复积分的计算方法 . 3 （一）定义法 . 3 （二）参数方程法 . 3 （三）利用柯西积分公式和柯西积分定理 . 3 谢 辞 . 6 参考文献 . 7 大连交通大学 201
7、4 届本科生毕业论文 1 一 复积分的定义及性质 （一）光滑曲线 设 是复平面上的一个点集。若它是某个复值连续函数 )()()( btatiytxtzz 的值域，则称 是复平面上的一条连续曲线。方程 )()()( btatiytxtzz 称为 的参数方程。 )(az 和 )(bz 分别称为 的起点和终点。对满足 2121 , ttbtabta 的 1t 和 2t ，当 )()( 21 tztz 成立时，点 )(1tz 称为曲线 的重点；无重点的连续曲线称为简单曲线；)()( bzaz 的简单曲线称为简单比曲线。 例如线段、圆弧和抛物线弧等都是简单曲线；圆周和椭圆等都是简单比曲线。 设简单曲线
8、的参数方程为 )()()( btatiytxtzz 并且在 , ba 上， )(tx 及 )(ty 存在、连续且不同时为零，则 称为光滑闭曲线。 （二）复积分的定义 复积分的定义的基本思想与实积分一样，都是分割、求和、取极限。 复积分的定义：设有向光滑曲线 ， )( ttzz 以 )(za 为起点，以 )(zb为终点， L 是一常数， )( 是定义在有向光滑曲线 上的复变函数，沿着从 到 的方向在 上取有限个点 bzza n10 z, ，将曲线 分成若干个弧段。从 kk zz 1 的每一弧上任取一点 kc ，作和数knk kkknk kn zcfzzcfs 111 )()()(，其中 1 kk
9、 zzk 。当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数 ns 的极限存在且等于 L ，则称)( 沿着 可积。这个常数 L 称为 )( 的积分，并记为 zdL )( 。 称为积分路径。如果 是由有向光滑曲线 ),( n21 组成的逐段光滑曲线，则 )( 沿着 的积分定义为zzzz dddd )()()()( n21 。 （三）复积分的性质 定理 1： (1) )( 沿着 可积的必要条件为 )( 在 上有界。 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 2 (2)如果 )( 沿着 可积，则 zz dcdzcf )()(， c 为任意复常数； zz dd )()( 。 (3)若 )( 和
10、 )(zg 都沿着 可积，则 )()( zg 沿着 可积，且有 zzz dzgddzg )()()()( 。 定 理 2：假定 ),(),()( yxivyxu 是在有向逐段光滑曲线 上连续的函数，则 (1) )( 在 上可积，并且 u d yv d xiu d xd z)(。 (2)如果对任意的 z 都有 M )( ，则 )()( Mld z，这里 )(l 表示 的长度。特别地， )()(m a x)( ld zz。 定理 3：若复变函数 )( 在 , ba 上连续，且对所有的 , bat 有 )()( tftF ，则 ba bFaFdttf )()()( 。 定理 4：设 )( 是有向逐段
11、光滑曲线 上的连续函数。若 ttzz ),( 是与 方向一致的参数方程，则有 dttztd z )()()(。 大连交通大学 2014 届本科生毕业论文 3 二 复积分的计 算方法 （一）定义法 例 1、计算 dz， 是连接 ba, 的曲线。 解：因 1)( ， ,)(1 1 abzzsnk kkn 故 ,lim0max absnzn k 即 abdz 。 （二）参数方程法 设光滑曲线 c:z=z(t)=x(t)+iy(t) ( t ), ()zt在 , 上连续，且 ()zt 0，又设()fz沿 c连续，则 ( ) ( ) ( )c f z d z f z t z t d t 。 1.对于直线段 c，先求 c的参数方程。 C是以 12,zz为端点的直线段， 1,0,)(: 211 ttzzzzc ，其中 1z 为始点 2z 为终点。 例 2、 计算积分1Rezdz i zdz21 Re，路径为直线段 . 解：设设 1,0,)1()1(1 titttiz ， 原式 = iitttdtitt 2123|21)21()1( 102210 2.当曲线为圆周或圆周的一部分时，例如 c 为以 a 为心 R 为半径的圆。 设 Razc : ，即 2,0,Re
