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1、18数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 解题方法： 1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。 2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1）.设公共根为，则同时满足这两个一元二次方程；（2）.用加减法消去2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式 例1 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根， 1.求k的取值范围 2.如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2
2、-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值 解： （1）b4ac164k0, k4； （2）由题意得：k3.x4x30,即（x1）（x3）0，解方程，得x1=3，x2=1，当x=3时93m10, m-8/3,当x=1时，1m10,m=0。m40 此时 m 的值为m0,或m-8/3.例2 若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值解：设两个方程的公共根为，则有2+a=0 2+a+1=0 -得（1-a）+a-1=0，即（1-a）（-1）=0因为只有一个公共根，所以a1，所以=1把=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0，a=-2 又解
3、：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0，整理得：x（1-a）-（1-a）=0，即（x-1）（1-a）=0，若a-1=0，即a=1时，方程x2+x+a=0和x2+ax+1=0的b2-4ac都小于0，即方程无解；故a1，公共根是：x=1把x=1代入方程有：1+1+a=0a=-2例3、已知a2，b2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根，请说明理由 解：不妨设关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，则有x02(a+b)x0+ab0 x02abx0+(a+b)02整理可得（x0+1）（a+b-ab）
4、=0a2，b2，a+bab，x0=-1；把x0=-1代入得1+a+b+ab=0，这是不可能的所以关于x的两个方程没有公共根 又解：x2- (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) = 0所以其两根分别是a 和 b若方程：x2- abx + (a+b) = 0 有1根x = a,代入,得：a2 a2b + a + b = 0(b-1)a2 - a - b = 0( (b-1)a - b ) ( a + 1 ) = 0得：a = b/(b-1) ,或 a = -1（a 2,（其中b-10）,得：b 2(b-1)即：b 2 矛盾 同理,方程：x2 - abx + (a+b) = 0 有1根x
5、 = b,也能推出同样的矛盾所以两个方程没有公共根 例4、求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根 解答：不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，a2+a+（k-2）=0-有ka-1-a-（k-2）=0，即（k-1）（a-1）=0，所以k=1，或a=1（1） 当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根，没有相异的根；（2） 当a=1时，代入或都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2x=1为两个方程的相同的根例5二次
6、项系数不相等的两个二次方程和(其中，为正整数)有一个公共根，求的值。解答：由方程（a-1）x2-（a2+2）x+（a2+2a）=0得，（a-1）x-（a+2）（x-a）=0x2=a；同理可由方程（b-1）x2-（b2+2）x+（b2+2b）=0解得x2=b；a，b为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根所以a-1只能为1或3，即a=2，b=4，或a=4，b=2（若有也是同样的结果）当a=2，b=4，（把a=4，b=2代入计算的结果一样）例6已知关于x的两个一元二次方程：方程： 方程：（1）若方程有两个相等的实数根，求解方程；（2） 若方程和中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，
7、并化简 （3）若方程和有一个公共根，求代数式的值解答：练习：1.已知关于的一元二次方程有两个实数根。（1）求的取值范围；（2）如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数的值。解（1） ，k9；（2） k是符合条件的最大整数且k9，k=9，当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0，m=-8/32.已知一元二次方程有两个实数根。（1）求的取值范围；（2）如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值。解答：(1)0解得k4(2)k是最大整数,说明k=3x2-4x+k=0的根是1和3x2+
8、mx-1=0的根是1时,m=0x2+mx-1=0的根是3时,m=-8/33.已知是一元二次方程有两个不相等的实数根。（1）求的取值范围；（2）在（1）的条件下，当取符合条件的最小整数时一元二次方程与只有一个相同的根，求的值。解答：（1）方程有两个不相等的实数根，=b2-4ac=（2k）2-4（k+1）（k-3）0解得k-3/2方程是一元二次方程k+10，k-1实数k的取值范围为：k-3/2且k-1（2）由（1）可得：k取最小整数时k=0x2-x+0=0，解得x1=0，x2=1把x=0代入x2+mx-m2=0，m=0把x=1代入x2+mx-m2=0得，m2-m-1=0，解得m=4、已知方程与方程
9、有公共根，求的值及两方程的所有公共根和所有的相异根。解答：设两个方程公共根为x，依题意得X2kx70X26x(k+1)0-得，（-6+k）x+（6-k）=0，当-6+k=0，即k=6时，x取任意值，两个方程得解都相同两个方程是同一个式子方程得解是x1=7，x2=-1；当k6时，解得x=1把x=1代入x2-kx-7=0得，1-k-7=0，k=-6于是两方程为：x2+6x-7=0，x1=1，x2=-7X2-6x+5=0，x1=1，x2=5故答案为：k=-6；其公共根为1，相异根为：-7和55.关于x的方程x2+bx+1=0与x2-x-b=0有且只有一个公共根，求b的值解：设方程的公共根为x=t，则
10、T2+bt+10 (1)T2tb0 (2)，由（2）得b=t2-t（3）将（3）代入（1）得：t3+1=0，解得，t=-1，当t=-1时，b=2变式：若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）Aa=b Ba+b=0 Ca+b=1 Da+b=-1.解：设公共根为x0，则x02+ax0+b=0 x02+bx0+a=0 -，得（a-b）（x0-1）=0，当a=b时，方程可能有两个公共根，不合题意；当x0=1时，所以1+a+b=0，a+b=-1故选D变式：已知实数a,b 满足a+b=1,且方程x+ax+b=0和x+bx+a=0至少有一个公共根,求a、b的值解:第一种情况：有
11、两个相同的根，则a=b,即a=b=第二种情况：有一个相同的根，则x+ax+b=0和x+bx+a=0，两式作差，得（a-b）（x-1）=0可得x=1可得a+b+1=0加上a2+b2=1,可解得a=-1,b=o或a=0，b=-16.若方程和只有一个公共根，求的值。解答：设公共根为t，则t2+at+b=0，t2+bt+a=0，（a-b）t=a-b，t有唯一的值，a-b0，t=1，把t=1代入x2+ax+b=0得a+b+1=0a+b=-1 故答案是（-1）2012=17.当是什么实数时，方程与方程有一个公共根。解答：X2-4x-p+1=0.(1)x2+px-3=0.(2)(2)-(1):(x+1)p+
12、4x-4=0p=4(1-x)/(x+1)代入（2）：x2+4x(1-x)/(1+x)-3=0x3-3x2+x-3=0(x2+1)(x-3)=0x=3p=4(1-3)/(1+3)=-28.设、为三个互不相等的实数，且，已知关于的方程和方程有一个公共根，方程和方程有一个公共根，试求的值。分析：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0，得x2=（c1），再根据韦达定理即可求解解答：解：设x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0，两式相减，得（a-b）x1+1-c=0，解得x1=，同理，由x22+x2+a=0，x22+cx2
13、+b=0，得x2=（c1），x2=，是第一个方程的根，x1与是方程x12+ax1+1=0的两根，x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，因此两式相减有（a-1）（x2-1）=0，当a=1时，这两个方程无实根，故x2=1，从而x1=1，于是a=-2，b+c=-1，所以a+b+c=-39.已知方程：，（其中）有整数根，是否存在整数，使得方程：与方程有相同的整数根？如果存在，请求出的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。解答：x3+（a+P）x2+（b+P）x+c=0则x3+Px2+Px+ax2+bx+c=0而ax2+bx+c=0x3+Px2+Px=0则方程必有一个根为0，而ax2+bx+c=0，（其中c0）无0根x2+Px+P=0与ax2+bx+c=0有相同的整数根而方程x2+Px+P=0的根为从而P=0或4，而P=0时方程x3+（a+P）x2+（b+P）x+c=0的根为0，而ax2+bx+c=0，（其中c0）无0根，不合题意P=4，此时方程x2+Px+P=0的根为-2已知关于x
