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1、,4.8 三角函数模型及解三角形应用举例,第四章 三角函数、解三角形,数学 苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图).,上方,下方,(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等. (3)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图). (4)坡度：
2、坡面与水平面所成的二面角的正切值.,正北,4.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)仰角与俯角都是目标视线和水平线的夹角，故仰角与俯角没有区别.( ) (2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系不能确定.( ) (3)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北4
3、6.( ),(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为 ，设为坡角，那么cos .( ) (5)如图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算.( ),130,解析,在ABC中，AB40，AC20， BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC2 2ABACcos 1202 800，所以BC20 .,由正弦定理，得,由BAC120，知ACB为锐角，,解析,故cos cos(ACB30),题型一 测量距离、高度问题,例1 (1)(2014四川)如图，从气球A上测得 正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 67，30，此时气球的高是46 m，则 河流的宽度BC约等于_m.(用四舍五入法将结果精
4、确到个位.参考数据：sin 670.92，cos 670.39， sin 370.60，cos 370.80， 1.73),解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,利用正弦定理解ABC.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,在ABC中，BCA30，BAC37，,答案 60,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,这类实际应用题，实质就是解三角形问题， 一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解 题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、平面几何和立体几何等知识.,解 析,思 维 升 华,
5、思 维 点 拨,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,依题意画图， 某人在C处， AB为塔高， 他沿CD前进，CD40米，此时DBF45，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB ，,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).,例1 (2)某人在塔
6、的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，,他沿CD前进，CD40，此时DBF45，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,过点B作BECD于E，则AEB30， 在BCD中，CD40，BCD30， DBC135，由正弦定理，得,思维点拨,解析,思维升
7、华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,BDE1801353015. 在RtBED中，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,BEDBsin 15,在RtABE中， AEB30，,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米
8、后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.,思维点拨,解析,思维升华,例1 (2)某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，注意综合应用方程、平面几何和立体几何等知识.,思维点拨,解析,思维升华,解析 在PAB中，PAB30， APB15，AB60， sin 15sin(4530)sin 45cos 3
9、0cos 45sin 30,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,跟踪训练1 (1)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点
10、分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.,(2)(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的 景点A处下山至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A ，cos C .,求索道AB的长；,从而sin Bsin(AC)sin(AC) sin Acos Cco
11、s Asin C,求索道AB的长；,所以索道AB的长为1 040 m.,问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？,所以由余弦定理得,200(37t270t50)，,问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？,为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.,为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,例2 如图，在海岸A处发现北偏东45方向， 距A处( 1)海里的B处有一艘走私船.在A处 北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉 私船
12、奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.,题型二 测量角度问题,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时， 才能最快截获(在D点)走私船，,在ABC中，由余弦定理，有 BC2AB2AC22ABACcosBAC,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,ABC45，B点在C点的正东方向上， CBD90301
13、20，,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,BCD30，缉私船沿北偏东60的方向行驶. 又在BCD中，CBD120，BCD30，,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,测量角度问题的一般步骤 (1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形； (3)将解得的结果转化为实际问题的解.,解 析,思 维 升 华,思 维 点 拨,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为
14、水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.,又CD50(m)，所以在ACD中， 由余弦定理得cosCAD,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.,又0CAD180， 所以CAD45，,跟踪训练2 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小.
15、,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,思维点拨,解析,思维升华,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,由题图可得：xcos ，ysin . 列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意的范围.,思维点拨,解析,思维升华,解 设S为十字形的面积，,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,思维点拨,解析,思维升华,三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值.,题型三 利用三角函数模型求最值 例3 如图，在直径 为1的圆O中，作一 关于圆心对称、邻 边互相垂直的十字形，其中yx0. (1)将十字形的面积表示为的函数；,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)满足何
