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1、2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,1/109,第二章 导数与微分,第一节 导数概念,第二节 函数的求导法则,第三节 高阶导数,第五节 函数的微分,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,2/109,第一节 导数概念,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数可导性与连续性的关系,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,3/109,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,4/109,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线
2、M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,5/109,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,6/109,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,2019/2/27
3、,南京中医药大学信息技术学院,7/109,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,若上述极限不存在 ,在点 不可导.,就说函数,的导数为无穷大 .,也称,在,注:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,8/109,导函数的定义,如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作,易见,求导数的步骤,(1)求增量,(2)算比值,(3)求极限,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,9/109,例1. 求函数,解:,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,2019/2/2
4、7,南京中医药大学信息技术学院,10/109,例2. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,11/109,解,即,例4 求函数 的导数,解,即,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,12/109,解,例5,即,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,13/109,单侧导数,1.左导数:,2.右导数:,函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.,函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一 点可导,函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间 (a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导
5、数,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,14/109,三、导数的几何意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,15/109,解,所求法线方程为,并写出在该点处的切线方程和法线方程,所求切线及法线的斜率分别为,所求切线方程为,即4x+y-4=0,即2x-8y+15=0,例6.求等边双曲线 在点 处的切线的斜率,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,16/109,例7. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方
6、程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,17/109,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,18/109,解,例8 讨论函数,在x=0处不可导,在x=0处的连续性和可导性,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,19/109,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但
7、连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,20/109,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,21/109,4. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,2019/2/27,南京中
8、医药大学信息技术学院,22/109,解: 因为,5. 设,存在, 且,求,所以,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,23/109,解: 因为,6. 设,存在, 且,求,所以,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,24/109,二、反函数的求导法则,三、复合函数的求导法则,一、函数的和、差、积、商的求导法则,2.2 函数的求导法则,四、基本求导法则与导数公式,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,25/109,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,则,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,
9、26/109,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,27/109,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,28/109,解,例1,例2 y=ex (sin x+cos x) 求y,=2excos x,解,y=(ex)(sin x+cos x)+e x (sin x+cos x),= e x,(sin x+cos x),+e x,(cos x -sin x),求导法则,例4 ysec x 求y,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,29
10、/109,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,则,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,30/109,例6 求(arctan x)及(arccot x),解,因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以,例5 求(arcsin x)及(arccos x),解,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以,反函数的求导法则:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,31/109,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导.,复合函数,且,在点 x 可导
11、,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,则,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,32/109,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,33/109,解,复合函数的求导法则:,例7,例8. 求下列导数:,解: (1),(2),2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,34/109,例9,复合函数的求导法则:,例10,解,解,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,35/109,四、基本求导法则与导数公式,1. 常数和基本初等函数的导数 (P94),2019/2
12、/27,南京中医药大学信息技术学院,36/109,2. 导数的四则运算法则,( C为常数 ),4. 复合函数求导法则,3.反函数求导法则,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,37/109,例11.,求,解:由于,例12.,设,解:,求,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,38/109,例13.,求,解:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,39/109,例14. 设,求,解:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,40/109,例15. 若,存在 , 求,的导数.,练习: 设,解:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,41/109,思考
13、与练习,1. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,42/109,2. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,43/109,3. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,44/109,二、高阶导数的运算法则,一、高阶导数的概念,2.3 高阶导数,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,45/109,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,2019/2/27,南
14、京中医药大学信息技术学院,46/109,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,47/109,所以y 3y10,证明,例1,证明,:,函数,满足关系式,.,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,48/109,设,存在，求下列函数的二阶导数,解:（1）,例2.,（1）,（2）,（2）,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,49/109,设,求,解:,依次类推 ,例3.,思考: 设,问,可得,2
15、019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,50/109,例4. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,例5. 设,求,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,51/109,例6. 设,求,解:,一般地 ,类似可证:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,52/109,例7. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,53/109,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,54/109,用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,55/109,例8.,求,解: 设,则,代入莱布尼兹公式 , 得,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,56/109,(1) 逐阶求导法,(2) 利用归纳法,(3) 间接法, 利用已知的高阶导数公式,(4) 利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,57/109,例9. 如何求下列函数的 n 阶导数?,解:,解:,(3),解:,2019/2/27,南京中医药大学信息技术学院,58/109,二、由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的
