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1、第十一章 正弦稳态的功率 三相电路,111 瞬时功率和平均功率 112 复功率 113 最大功率传输定理 114 平均功率的叠加 115 三相电路 116 电路设计，电路实验和计算机分析电路实例,说明：为了能够正确显示幻灯片中的电压电流相量，你必须 安装 office 光盘中的公式编辑器。,第十一章 正弦稳态的功率 三相电路,本章先讨论正弦稳态单口网络的瞬时功率、平均功率和功率因数。再讨论正弦稳态单口网络向可变负载传输最大功率的问题以及非正弦稳态平均功率的计算。最后介绍三相电路的基本概念。,111 瞬时功率和平均功率,一、瞬时功率和平均功率 图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件
2、下，它吸收的功率为,在单口网络工作于正弦稳态的情况下。端口电压和电流是相同频率的正弦电压和电流，即,其瞬时功率为,其中=u-i是电压与电流的相位差,瞬时功率的波形如图所示,图11-2正弦稳态单口网络的瞬时功率和平均功率,周期性变化的瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，用P表示，其定义是,由此式看出正弦稳态的平均功率不仅与电压电流有效值乘积UI有关，还与电压电流的相位差=u-i有关，式中的因子cos称为功率因数。平均功率是一个重要的概念，得到广泛使用，我们通常说某个家用电器消耗多少瓦的功率，就是指它的平均功率，简称为功率。,下面我们讨论单口网络的几种特殊情况。 1. 单口网络是一个电阻，
3、或其等效阻抗为一个电阻。 此时单口网络电压与电流相位相同，即=u-i=0, cos=1，式(112)变为,其波形如下图所示。,瞬时功率p(t)在任何时刻均大于或等于零，电阻始终吸收功率和消耗能量。此时平均功率的表达式为,图11-3 电阻的瞬时功率和平均功率,2. 单口网络是一个电感或电容，或等效为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关系，即 =u-i=90, cos=0，式(112)变为,此时平均功率的表达式(11-3)变为,这说明在正弦稳态电路中，任何电感或电容吸收的平均功率为零。,图11-4 电感和电容的瞬时功率和平均功率,其波形如图(a)和(b)所示。其特点是在一段时间吸收功率获
4、得能量；另外一段时间释放出它所获得的全部能量。,3.由RLC元件构成的单口网络，其相量模型等效为一个电阻与电抗的串联或一个电导与电纳的并联。当等效电阻和等效电导为正时，其电压电流的相位差在-90到+90之间变化，功率因数cos在0到1之间变化。 此时瞬时功率p(t)随时间作周期性变化，所吸收的平均功率为,式中的Re(Z)是单口网络等效阻抗的电阻分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。 与此相似，式中的Re(Y)是单口网络等效导纳的电导分量，它消耗的平均功率，就是单口网络吸收的平均功率。,当单口网络中包含有独立电源和受控源时，计算平均功率的式(113)仍然适用，但此时的电压与电流的相
5、位差可能在+90到+270之间变化，功率因数cos在0到-1之间变化，导致平均功率为负值，这意味着单口网络向外提供能量。 值得注意的是在用UIcos计算单口网络吸收的平均功率时，一定要采用电压电流的关联参考方向，否则会影响相位差的数值，从而影响到功率因数cos以及平均功率的正负。,功率因数cos 之值与单口网络电压与电流间的相位差密切相关，故称=u-i为功率因数角。,二、功率因数 从式(113)可见，在单口网络电压电流有效值的乘积UI一定的情况下，单口网络吸收的平均功率P与cos的大小密切相关，cos表示功率的利用程度，称为功率因数，记为，它与P和UI的关系为,当单口网络呈现纯电阻时，功率因数
6、角为零以及功率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性时，功率因数角=090以及功率因数cos1，以致于PUI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施力求提高功率因数。,例11-1 图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。,解：图(a)电路中的电流为,其相量图如图(d)所示。单口网络吸收的平均功率为,此时的功率因数=cos=0.6，功率的利用效率很低。,图11-5,为了提高功率因数，可以在ab两端上并联一个电容，如图(b)所示。为分析方便，先将电阻与电感串联等效变换为电阻和电
7、感的并联，如图(c)所示，其电导和电纳值由下式确定,从此式可见，并联的电容的导纳为YC=jC=+j0.16S时，单口网络呈现为纯电阻，可以使功率因数提高到1，即效率达到100。,图11-5,并联电容后，图(b)和(c)电路端口的电流变为,其相量图如图(e)所示，由此可见，并联电容后，不会影响电阻中的电流和吸收的平均功率P=12W。而端口电流由2A减小到1.2A，提高了电源的利用效率。可以将节省下来的电流，提供给其它用户使用。,图11-5,图(a)电路的功率因数=cos=0.6，功率的利用效率很低。 图(b)电路并联电容后，功率因数提高到=cos=1。,图11-5,112 复 功 率,一、复功率
8、,图 11-6,为了便于用相量来计算平均功率，引入复功率的概念。 图11-6所示单口网络工作于正弦稳态，其电压电流采用关联的参考方向，假设电压和电流的有效值相量分别为,电流相量的共轭复数为 ，则单口网络吸收的复功率为,其中，复功率的实部P=UIcos称为有功功率，它是单口网络吸收的平均功率，单位为瓦(W)。,复功率的虚部Q=UIsin称为无功功率，它反映电源和单口网络内储能元件之间的能量交换情况，为与平均功率相区别，单位为乏(var)。 复功率的模称为视在功率，它表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，为与其它功率相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电机的容量为10
9、0kVA，而不说其容量为100kW。,二、复功率守恒,由此可以导出一个正弦稳态电路的有功功率和无功功率也是守恒的结论：可以用数学式表示如下：,复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态的电路来说，由每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收复功率的总和。可以用数学式表示如下：,由此可以得出不含独立源单口网络吸收的有功功率等于该单口网络内每个电阻元件吸收的平均功率总和的结论。 值得注意的是一个正弦稳态电路中的视在功率并不守恒。,例11-2 图(a)电路工作于正弦稳态，已知电压源电压为 ，求电压源发出的平均功率。,解：图(a)电路的相量模型，如图(b)所示。先求出连接电压 源单口网络的等效
10、阻抗,图11-7,用欧姆定律求出电流,用分流公式求出电流,求出各电压电流相量后，可以用以下几种方法计算电压源发出的平均功率。,11-3 最大功率传输定理,本节讨论正弦稳态电路中，含独立电源单口网络向可变负载传输最大平均功率的问题。将图(a)所示含独立电源单口网络用戴维宁等效电路代替，得到图(b)所示电路。其中， 是含源单口网络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源单口网络的输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。,图11-8,负载ZL获得的平均功率等于,现在求负载ZL=RL+jXL变化时所获得的功率PL的最大值。首先令jXL=-jXo，使其功率因数cos=1，上式变为,图11-8,再对电流求导数
11、，并令其等于零,得到极大值或极小值的条件是RL=Ro。再对电流I求一次导数，并令其小于零,上式表明在Ro0的前提下，负载获得最大功率的条件是,所获得的最大平均功率为,最大功率传输定理：工作于正弦稳态的单口网络向一个负载ZL=RL+jXL供电，如果该单口网络可用戴维宁等效电路(其中Zo=Ro+jXo ,Ro0)代替，则在负载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共轭复数（即 ）时，负载可以获得最大平均功率,通常将满足 条件的匹配，称为共轭匹配。在通信和电子设备的设计中，常常要求满足共轭匹配，以便使负载得到最大功率。,例11-3 图(a)所示电路中，为使RL=1000负载电阻从单口 网络中获得最大功率，试
12、设计一个由电抗元件组成 的网络来满足共轭匹配条件。,解：1. 假如不用匹配网络，将1000负载电阻与电抗网络 直接相连时，负载电阻获得的平均功率为,图11-9,2. 假如采用匹配网络满足共轭匹配条件，1000负载电阻可能获得的最大平均功率为,由上可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率将大大增加。,图11-9,3. 设计一个由图(a)所示电感和电容元件构成的网络来满足共轭匹配条件，以便使负载获得最大功率。 将电容和电阻并联单口等效变换为串联单口，写出输入阻抗,图11-9,令上式的实部相等可以求得,代入电阻值得到,令式(11-12)虚部相等可以求得,代入电阻和电容值得到,计算表明，如选择L=0
13、.3H，C=3F，图示电路ab两端以右单口网络的输入阻抗等于100，它可以获得25W的最大功率，由于其中的电感和电容平均功率为零，根据平均功率守恒定理，这些功率将为RL=1000的电阻负载全部吸收。,图11-9,我们也可以采用理想变压器来作为匹配网络使负载电阻RL=1000 获得最大功率。此时理想变压器的变比的计算公式如下：,变比n=3.162的变压器将1000的电阻变换为100来满足阻抗匹配条件，由于理想变压器不消耗功率，根据平均功率守恒定理，25W的最大功率将全部为负载电阻RL=1000所吸收。,图11-9,补充题：图示电路中，为使RL=100负载电阻从单口网络 中获得最大功率，试设计一个
14、由电抗元件组成的 网络来满足共轭匹配条件。,114 平均功率的叠加,本节讨论几种不同频率正弦信号激励的非正弦稳态的平均功率。,图示单口网络，在端口电压和电流采用关联参考方向的条件下，假设其电压和电流为,单口网络的瞬时功率为,瞬时功率随时间作周期性变化，它在一个周期内的平均功率为,一般来说，n种不同频率正弦信号作用于单口网络引起的平均功率等于每种频率正弦信号单独引起的平均功率之和，即,其中,将这些平均功率相加得到单口网络吸收的平均功率,解：分别计算每种频率正弦信号单独作用产生的平均功率,式中的 是周期性非正弦电流的有效值。,解：分别计算各种频率成分的平均功率再相加，即,一般来说，周期性非正弦电压
15、和电流，用傅里叶级数分解出它的直流分量和各种谐波分量后，可以用以下公式计算其有效值。,引入周期性非正弦电压和电流的有效值后，可以用以下公式计算电阻的平均功率,应该特别注意的是电路在频率相同的几个正弦信号激励时，不能用平均功率叠加的方法来计算正弦稳态的平均功率。 应该先计算出总的电压和电流后，再用公式P=UIcos来计算平均功率。,例11-6 图11-11(a)所示电路中，已知 试求该单口网络向外传输的最大平均功率。,解：分别计算出每个频率成分正弦信号所产生的最大平均 功率，然后相加。,图 11-11,1. 单独作用时，画出1=1rad/s的相量模型，此时,图 11-11(b),当负载阻抗为 时，含源单口网络输出的最大平均功率为,2. 单独作用时，画出2=2rad/s的相量模型，此时,图 11-11(c),当负载阻抗为 时，含源单口网络输出的最大平均功率为,3. 将不同频率成分正弦信号产生的平均功率叠加得到单口向外传输的最大平均功率为,你能够设计一个负载ZL (j)来满足以上传输最大功率吗？,115 三相电路,由三相电源供电的电路，称为三相电路。三相供电系统具有很多优点，为各国广泛采用。在发电方面，相同尺寸的三相发电机
