[精编]数学力学与天体物理300年

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1、数学力学与天体物理 300 年原載於數學傳播第十三卷第四期V.I. Arnold 高非譯;王繼海校 自從牛頓自然哲學數學原理問世至今，已整整三百年了。牛頓這一著作奠定了現代理論物理學基礎，對科學發展全部進程，都產生了巨大影響。書中不少章節，現已發展成為理論，對此，已寫出了成千上萬的書。 1. 牛頓的書，主要為了論述如何解決如下數學問題：證明在到與吸引中心的距離平方成反比的引力作用下，被吸引物體沿橢圓運動，而吸引中心在其中一個焦點上（當初始速度足夠大時，物體也可能沿其它錐截曲線拋物線和雙曲線運動）。換句話說，即根據牛頓萬有引力定律，推出刻卜勒行星第一定律（行星沿備圓軌道運行，太陽位於其中一個焦點

2、上）。 為此目的，牛頓遠遠地發展了力學的數學工具，從大家熟知的牛頓三定律直到月球攝動理論。 2. 無論是萬有引力定律還是牛頓定律，都不是牛頓發現的。慣性定律（牛頓第一定律）始於伽利略。惠更斯在 1659 年推導了圓周運動的向心力公式（為此，需要掌握牛頓第二定律）。1663 年，惠更斯在倫敦皇家科學院會議上，敘述了能量和動量守值規律。 刻卜勒(1609)寫道：如果地球停止吸引，所有海水都將湧入月球。引力平方反比定律，已見於 1645年 I. Biot 所著書中。 激發牛頓認真研究引力的推動力，是虎克的一封信。虎克是始建於 1662 年的皇家科學院的學監，根據規定，學監有責任在每間舉行的科學院會議

3、上演示二三種證明某些自然定律的實驗。這些定律不一定是他本人的發現，也可得知於和其他學者的通訊，或取自出版物等，只要求是由實驗證明成立的定律。 虎克忠實地完成了自己的使命，在長達四十年的期間裏，證明了大量自然規律。他個人，一生中發現的規律達五百以上。其中一些規律，至今仍以虎克命名，如彈性基本定律：回復力正比於對平衡位置的偏離。其它一些規律，被歸屬於另外的作者（如氣體彈性定律，作為助手虎克的發現，首先在波義耳的書中發表，現稱為波義耳馬略特定律）。 3. 由於每周都必須證明幾項自然規律，虎克常常很匆忙，無暇顧及自己所發現規律的數學表述。 1679 年底至 1680 年初，在與牛頓的通信中。虎克把自己

4、關於引力的一些想法告知牛頓： (1)被中心力所吸引的物體，當力的大小反比於距離平方時，將沿偏心的類橢圓線（即類似於橢圓的曲線）運動； (2)實驗已經證明，地球引力隨高度增加而減小； (3)如同彈性力在趨向平衡位置時變弱一樣，當物體向礦井下落時，引力也將減弱，因此（在無阻力情況下）落體軌道將類似橢圓，其中心即在地球中心處。虎克未能精確確定軌道形狀。看來，他用圖解法積分運動方程，或者利用了某種特殊的模擬計算器（虎克曾對沿平面、球面，或者其它曲面運動的擺進行實驗，他指出，這些實驗，視表面不同模擬的引力規律亦不同）。 4. 虎克希望，牛頓以其卓越的數學方法，定能證明軌道的橢圓性。牛頓也的確完成了這一任

5、務。他用幾何方法的證明曾經是（而且仍然是）異常複雜，這使牛頓清楚地意識到，虎克所斷定的比他所知道的要多。因此，在進一步的工作中，他避免引用虎克。哈雷在 1686 年曾勸說牛頓在原理中提及虎克（虎克在 1666 年和 1674 年就發表過關於引力的論文），在與哈雷的通信中牛頓曾以一段話表達了自己關於數學家（牛頓）與物理學家（虎克）對待科學的差異，這些話時至今日仍有現實意義，牛頓寫道：發現一切的數學家，應滿足於馱重的牲畜和枯燥無味的計算者的角色，而另一個人，他什麼也不能證明，只是攫取一切，潛望一切，並囊括其前輩及後人的全部榮譽。 牛頓於 1714 年斷言，他在 1665 或 1666 年發現了距離

6、平方反比規律（關於蘋果落地的軼聞，是牛頓的外甥女大約在 1726 年向伏爾泰講述的），而軌道的橢圓性，則是在 1676 或 1677 年證明的（即在與虎克通訊之前）。後一日期似乎是可疑的，至少，在 1684 年以前，牛頓從未向任何人談過自己的證明。而且他什麼也沒有發表過。 早在 l676 年，牛頓就寫道：人應當作出抉擇或者什麼都不發表，或者用一生去保衛自己的發明權。看來，他兩者都做到了：首先，他什麼也未發表過；其次，不斷進行關於發明權的爭辯（與虎克、萊布尼茲、弗萊斯蒂得、等等）。 5. 證明軌道的橢圓性之後，牛頓仍然不認為引力定律已經證明。他注意到，地球不是一個點。當然，在吸引物體遠處，其引力

7、接近於將該質量放於物體中心點的引力。但是引力定律的導出，是建立在地球對月球的吸引和向地面落石（或蘋果）這兩者對比基礎上的，在計算對月球的吸引時，地球尚可認為是一個點，但對石塊，將是另外一種情況。需要證明，雖然地球的不同部位沿不同方向吸引石塊，但其合力對石塊的作用相當於將地球全部質量集中於中心。 對這一事實的幾何證明（如原理中所敘述的，其中包括關於完整的球殼對內部點完全無吸引的證明）是要克服許多困難，這在當時也只有牛頓力所能及。 牛頓的這些定理的現代證明基於流體力學考慮，最早由拉普拉斯提出。問題在於，不可壓縮流體唯一可能的球對稱流，是沿徑向的流，其速度與到中心的距離的平方成反比。這是因為，單位時

8、間通過半徑為任何值的球面的流量均相等而球面積正比於半徑平方。與此同理，從中心源向外飛散的粒子（例如太陽光子）通量強度反比於到源的距離平方。 於是，點質量的引力場在數學上與不可壓縮流體速度場一致！在此意義上，超距作用 變成了近距作用。 由此立即可得牛頓關於球的引力定理。的確，任意質量系統的引力場在質量之外具有同樣的 不可壓縮性（由於總場的通量等於分通量之和，所以，不可壓縮場之和也是不可壓縮的）。 由球對稱的質量分布所產生的引力場仍然是球對稱的，在這些質量之外是不可壓縮的，因此，其強度反比於到質量中心的距離。比例常數由以下條件確定：通過包含全部源的球面的通量等於源的總強度。因此，這一比例常數對於所

9、有球對稱的質量分佈都是相同的，其中包括集中於中心的質量。 6. 牛頓的主要結果在按距離平方反比規律減弱的場中軌道為橢圓可以從虎克定律和牛頓定律之間的特殊對偶關係中得出。 一般說，對正比於到吸引中心距離的。次方的引力規律，存在看對應的規律，其次方 A 由條件 (a+3)(A+3)=4 確定。對於虎克定律，a=1，因此，牛頓定律(A=-2)與其對偶。 互偶的定律之間的聯繫在於：將按 a 次方規律運動的軌道乘以 d=(a+3)/2 次方，則此軌道即過渡為按 A 次方規律運動的軌道（兩種軌道均位於複數平面上） 原理出版後三百年所發現的這一事實，可以通過二次微商驗證。 按虎克定律，運動軌跡為橢圓，而吸引

10、點在其中心（簡諧振動的初等理論）。 牛頓定律（A=-2）與虎克定律（a=1）互偶，其軌道可通過將虎克的軌道乘以二次方得到（d=2）。原來，當對複數取二次方時 ，虎克的橢圓（中心在原點）即轉化為牛頓的橢圓（焦點在原點）！天文學家包林的這個定理，最簡單的證明方法是利用儒柯夫斯基函數 =z+1/z（此函數也用於計算機翼升力）。當變數 z 沿中心在原點的圓周取值時，變數 的複數值在焦點為 2 的虎克的橢圓上，而儒柯夫斯基函數的平方 2=z2+1/z2+2，將仍沿橢圓取值，但其焦點已移至原點。 於是，牛頓引力定律的橢圓性，可從虎克定律的橢圓性推導出來。順便指出，虎克定律可作為均勻地球內的礦井中落體規律而

11、得到實現。虎克曾設想過這一規律，而牛頓證明了它（原理中的定理 XXXIII）。錐截曲線理論是古希臘數學家建立的，兩千年後，牛頓將其應用於天體力學，成為一種基本工具。這是數學在自然科學中具有不可思議的效力 的一個光輝例證。1979 年諾貝爾物理獎得者溫伯格，對於數學家超前物理學家這一令人驚奇的現象這樣寫道：一些數學家出賣靈魂給魔鬼，以換取何種數學在許多年後將為物理學家所應用的信息。7. 無論是世界體系的發現，無論是理論物理的創建，也無論是天體力學的建立，在公元 1700 年以前，都未納入劍橋大學或皇家科學院的年度計劃或遠景規劃。長達七百頁的原理是牛頓在哈雷的堅持請求下，用一年半的時間完成的。由於

12、此書不在計劃之內，哈雷不得不自己出錢出版。 在此期間，牛頓在特立尼蒂學院任教授。當時他只有三名學生。他講授算術、地理、光學以及其它一些課程。僅在秋季學期授課，（每年十講）每次講一個半小時，有時，沒有一個學生來上課（牛頓的課以難懂著稱），牛頓只好回家。牛頓把更多的時間和精力用於研究煉金術和神學，他的主要發現都是在他 23到 24 歲時這兩個學年中作出的。在原理之後（當時牛頓 44 歲），他脫離了科學工作。 1696 年，牛頓被任命為倫敦造幣廠管事，後來又升任廠長，並在由他過去的學生 Halifax 勛爵所領導的經濟改革中發揮了重要作用。Halifax 是英國銀行的創建者， 3 位英國勛爵大法官

13、(Lord Justice) 之一，當威廉三世不在時，3 位大法官負責管理國家。 始於內戰，終於 1688 年的光榮革命，在英國延續了幾十年的革命變革，使國家的經濟陷入困境。過去幾十年積累的各種弊端，要求經濟改革。在這一過程中，不得不及時停止舊的無聲望貨幣的流通。 牛頓在短期內未增加一台新機床就把貨幣的鑄造增加 8 倍。與此同時，進行了搜尋和偵察，僅在 1697年一年，就同法院提出一些案件，結果約有 20 名造偽幣者被處決。 1703 年虎克去世，牛頓成為皇家科學院院長，直至 1727 年逝世。 8. 在原理一書所包含的一些最重要的物理原理中，需要指出關於時空相對性的思想（ 在自然界中既不存在

14、靜止的物體，也不存在均勻的運動。）；關於存在慣性坐標系的假設；決定性原理世界上所有粒子的初始位置和速度，決定其未來和過去。 過去表現為混沌的宇宙，在原理之後似乎變成了某種調整好了的鐘錶。基本原理的這種規律性和簡單性（據此可推導出各種觀測到的複雜的運動），在當時被認為是存在上帝的證明。牛頓寫道：太陽、行星和彗星如此美妙的聯合，只有按照智慧超群、威力無邊的人的旨意才能發生。他掌管一切，不是作為世界的靈魂，而是作為宇宙的統治者，即占有一切的上帝。理論物理在牛頓建造的天堂中逗留了二百餘年，直到量子力學和相對論粉碎了這些幻覺。在這裏，甚至簡要地羅列原理的主要具體成就，也都是不可能的，故僅限於指出以下幾點

15、：極限理論的建立（與現代理論僅有符號上的差異），阿貝爾積分超越性的拓撲證明（引理 XXVIII），稀薄介質中高超音速運動阻力的計算（僅在宇航時代才得到應用），太陽引起的月球攝動的計算。 9. 牛頓之後天體力學的發展，表現為萬有引力定律所取得的一系列巨大成就：觀測上的偏離，被解釋為沒有精確計算攝動所造成（著名的例外水星近日點的進動：觀測值為每百年 576，而攝動理論僅給出533。不足的 43只能由廣義相對論予以說明。新物理學常常誕生於對最後幾位數的修正！） 引力論的第一個巨大成就是預言哈雷彗星的回歸。哈雷並未發現公正地以他的名字命名的彗星。他覺察出 1456、1531、1607 和 1682 年

16、彗星軌道的相似性，並且大膽預言彗星將在 76 年後，即在 1758 年回歸。但是，由於木星和土星的攝動，彗星的回來遲了，實際上是在 1759 年 4 月經過近日點的（根據 Klero 的計算，對 75 年的周期，它將遲到 618 天），這與 Klero 的預言幾乎一致。 引起對引力定律的普遍性和精確性產生懷疑的另一現象是緩慢的但卻是毫無疑義的木星加速和土星的減速（刻卜勒 1625；哈雷 1695）。如果這一過程繼續千萬年，它將使太陽系完全改觀；木星將接近太陽，土星將遠離太陽。 全部行星質量總和僅約為太陽質量的千分之一，因此，行星運動中相互吸引所造成的攝動可達其所經過路程的千分之幾。如果攝動積累幾千年，行星可能損落在太陽之上，並相互碰撞，地球也可能因遠離太陽而凍結。 為什麼所有這一切均未發生？問題在於，行星在不同時間所經歷的攝動，不總是沿同一方向，而且具有振盪的性質。 數學上，這種攝動表現為各