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1、2 0 1 5 数 学 联 赛 辽 宁 赛 区 预 赛 试 题 详 细 解 答一 、 选 择 题1 、 设 241i ia ， 其 中 x 表 示 不 超 过 x的 最 大 整 数 ， 集 合 axNxxA 整 除且, ， 则 A中 的 元 素 个 数 是 （ ）A 4 B 6 C 8 D 1 2解 答 ： 5327094735231 a ， 所 以 拥 有 约 数 的 数 目 为 8111111 N ， 选 C。2 、 若 ABC 的 三 边 cba , 成 等 比 数 列 ， 边 cba , 的 所 对 的 角 依 次 为 CBA , ， 且12cossinsinsinsin BCBBA
2、， 在 角 B 为A 4 B 3 C 2 D 32解 答 ： BBCBBA 2sin22cos1sinsinsinsin ，根 据 正 弦 定 理 得 ： 22bbcab ， 即 bca 2 。又 由 题 意 得 2bac ， 联 立 解 得 cba ， 因 此 3B ， 选 B3 、 已 知 函 数 1965319653 22 xxxxxf ， 则 50.21 fffA 6 6 0 B 6 6 4 C 6 6 8 D 6 7 2解 答 ： 494494 xxxxxf ，因 此 49,4942 494,0 4,4942 xxx x xxxxf所 以 6601464614724832503212
3、50.21 fffffff 。 选 A4 、 已 知 数 列 na 是 有 正 整 数 组 成 的 递 增 数 列 ， 且 Nnaaa nnn ,212 ， 若 525 a ， 则 7aA 1 0 2 B 1 5 2 C 2 1 2 D 2 7 3解 答 ： 123 2aaa ； 21212234 32222 aaaaaaaa ； 525622322 211221345 aaaaaaaaa 。由 于 Zaa 21, ， 且 21 aa ， 所 以 必 然 有 8,2 21 aa 。284 a ， 1082 456 aaa ， 2122 567 aaa 。 选 C5 、 长 方 体 1111 D
4、CBAABCD 中 ， 11 AAAB ， 2AD ， 则 异 面 直 线 DA1 与 11DB 的 距 离 为A 1 B 21 C 32 D 23解 答 ： 以 A为 原 点 ， 1AA 为 x 轴 为 正 方 向 ， AB 为 y 轴 正 方 向 ， AD 为 z 轴 正 方 向 ， 建 立 空 间 坐 标 系 。 0,0,11A ， 2,0,0D ， 0,1,11B ， 2,0,11D 。 2,0,11 DA ， 2,1,011 DB ， 所 以 1,2,2111 DBDA 。过 DA1 点 与 11DB 平 行 的 平 面 方 程 为 0222 zyx 。1B 到 平 面 ： 0222
5、 zyx 的 距 离 为 32122 2102121 222 d ， 选 C6 、 如 图 ， NM, 分 别 为 正 六 边 形 ABCDEF 的 对 角 线 AC ， CE 的 内 分 点 ， 且 CECNACAM ， 若 NMB , 三 点共 线 ， 则 A 33 B 31 C 22 D 21解 答 ： 以 C 为 原 点 CE 为 x轴 正 方 向 ， CB为 y 轴 为 正 方 向 。 0,0,0C ， 0,3E ， 23,23A ， 1,0B所 以 123,123M ， 0,3N ， 1,3,2321,123 BNBM 0323211123 BNBM ， 解 得 33 （ 负 跟
6、舍 去 ） ， 选 A二 、 填 空 题7 、 已 知 复 数 Raiaz , 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 二 象 限 ， 且 21 iz ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 。解 答 ： 2211 ziziz ， 2 z 。因 此 在 复 平 面 内 z 在 圆 222 yx 外 部 ， 即 222 yx 。由 题 意 得 z 在 直 线 一 部 分 1y ， 0x 上 ， 所 以 有 1a 。 答 案 为 1,8 、 若 实 数 ba, 满 足 10lg aa ， 1010 bb ， 则 balg 。解 答 ： 又 题 意 得 ， aa 10lg ， bb 1010
7、 。设 xxf lg ， xxg 10 ， xxh 10 。 xxf lg ， xxh 10 的 交 点 为 aaA 10, ； xxg 10 ， xxh 10 的 交 点 为 bbB 10, ；由 于 xxf lg ， xxg 10 为 反 函 数 ， 关 于 yx 对 称 。 xxh 10 图 像 关 于 yx 对 称 。所 以 BA, 关 于 yx 对 称 。 所 以 ba 10 ， 即 1lg,10 baba 。 答 案 为 19 、 设 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， 511 a ， 且 对 任 意 正 整 数 nm, 都 有 nmnm aaa ， 若 aSn 对 任
8、意 Nn 恒 成 立 ，则 实 数 a额 最 小 值 为 。解 答 ： nnn aaaa 5111 ， 所 以 na 为 等 比 数 列 ， nna 51 ， 41514141 nnS ， 答 案 为 41 。1 0 、 立 方 体 1111 DCBAABCD 中 ， 点 NM, 分 别 在 线 段 1,BBAB 上 （ 不 包 括 线 段 的 端 点 ） ， 并 且 NBAM 1 ， 则 MA1与 NC1 所 成 角 的 取 值 范 围 是 。解 答 ： 设 xNBAM 1 ， 立 方 体 边 长 为 a。 则 ax0以 1A 为 原 点 ， 11DA 为 x轴 正 方 向 ， AA1 为
9、z 轴 正 方 向 ， BA1 为 y 轴 正 方 向 ， 建 立 空 间 坐 标 系 。 0,0,01A， axM ,0 ， xaN ,0 ， 0,1 aaC 。 所 以 axMA ,01 ， xaNC ,0,1 。 xxa axa axNCMA 22211 ,cos ， 在 a,0 上 ， xaxxf 2 单 调 递 减 ， 切 恒 大 于 零 。所 以 对 于 xax axg 2 单 调 递 增 ，所 以 21,cos0 11 NCMA ， 因 此 2,3, 11 NCMA ， 答 案 为 2,3 。1 1 、 一 道 数 学 竞 赛 题 ， 甲 、 乙 、 丙 单 独 解 除 此 题
10、的 概 率 分 别 为 cba 1,1,1 ， 其 中 cba , 都 是 小 于 1 0 的 正 整 数 ， 现 在 甲乙 丙 同 时 独 立 解 答 此 题 ， 若 三 人 中 恰 有 一 人 解 出 此 题 的 概 率 为 157 ， 则 甲 乙 丙 三 人 都 解 不 出 此 题 的 概 率 为 。解 答 ： 由 题 意 得 ： 157111111111111111111111 abc accbbabaccabcba 。由 于 Zcba , ， 因 此 必 然 存 在 Zn ， 使 得 nabc 15 ，又 因 为 10, cba ， 因 此 1 5 不 能 整 除 cba , 中 的
11、 任 何 一 个 。 所 以 不 妨 设 a能 被 3 整 除 ， b 能 被 5 整 除 。所 以 9,6,3a ， 5b 。 因 此 有当 5,3 ba 时 ， 解 得 2c当 5,6 ba ， 或 者 5,9 ba 时 ， c无 正 整 数 解 ， 因 此 有 2,5,3 cba ， 因 此 答 案 为 154 。1 2 、 设 21,FF 为 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 ， 若 AB 为 椭 圆 一 条 过 点 2F 的 弦 ， 且 在 ABF1 中 ， 31 AF ， 4AB ， 51 BF ，则 BFF 12tan 。解 答 ： 显 然 22222121 253 BFAFBFA
12、FBFBFAFAF ；422 BFAFAB ， 联 立 解 得 1,3 22 BFAF设 xFF 21 ， 在 21FAF 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 632 33cos 22212 xxxFAF ；同 理 可 得 xxxxFBF 2 242 51cos 222212 ， 0coscos 12121212 FAFFBFFAFFBF ， 所 以 02 246 2 xxx ， 解 得 23x 。由 余 弦 定 理 ， 10272352 1185cos 212 BFF ， 所 以 71tan 12 BFF 。 答 案 为 71三 、 解 答 题1 3 、 设 实 数 ,ba ， 满 足 ba0
13、， 10 。（ 1 ） 证 明 ： 1lnlnln1ln bba bbaaa ；（ 2 ） 证 明 ： bbaababa ln1ln1ln1 。证 明 ： （ 1 ） 设 xxxf ln ， 1ln xxf 。 则 ba bfafba bbaa lnln 。微 分 中 值 定 理 得 ： 存 在 ba, ， 使 得 fba bfafba bbaa lnln 。考 虑 1ln xxf 为 单 调 递 增 函 数 在 ,0 上 ， 所 以 有 bffaf ， 即1lnlnln1ln bba bbaaa， 命 题 得 证 。（ 2 ） 设 xxaaaxab aabbxg lnlnlnln ， bac 1 ，显 然 bca ， ba bc ， 所 以
